vesnat.ru страница 1
скачать файл

  • ВВЕДЕНИЕ.

В теории автоматического управления объектом исследования являются не реальные физические объекты и системы управления, а их математические модели. Методика разработки математической модели системы автоматического управления содержит три основных этапа:



  1. Составляются математические модели элементов системы автоматического управления: объекта управления, датчиков (информационно-измерительного комплекса), исполнительных устройств (электрические или гидравлические привода).

  2. Составляется математическая модель связей элементов системы управления.

  3. Составляется математическая модель взаимодействия системы управления с внешней средой.

В основе формирования математических моделей систем автоматического управления лежит математическое описание тех физических процессов, которые протекают в реальной системе.

  • Требования, предъявляемые к математическим моделям систем автоматического управления.


  1. Математическая модель должна как можно точнее отражать физические процессы в исследуемой системе управления.

  2. Математическая модель должна быть достаточно простой, чтобы излишне не усложнять исследования.

Эти два требования к математическим моделям систем управления противоречивы.

Как правило, математическая модель системы автоматического управления представляет собой совокупность систем нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений.

Нелинейной системой автоматического управления называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным дифференциальным или алгебраическим уравнением.



  • Математические модели нелинейных элементов систем автоматического управления.


Статические нелинейные элементы – это такие элементы системы автоматического управления, выходная переменная которых не зависит от скорости изменения входной величины.

  1. Характеристика с насыщением (ограничение).

Характеристика нелинейного звена типа "Ограничение".

Уравнение нелинейного звена типа "Ограничение"

.

2. Реле с зоной нечувствительности.

Уравнение нелинейного звена типа "Реле с зоной нечувствительности"

.

Характеристика нелинейного звена типа "Реле с зоной нечувствительности".


При получаем идеальную релейную характеристику



.

Динамические нелинейные элементы – это такие элементы системы автоматического управления, выходная переменная которых зависит не только от величины входного воздействия, но и от скорости его изменения.


3. Реле с гистерезисом.

Характеристика нелинейного звена типа "Реле с гистерезисом"

Уравнение нелинейного звена типа "Реле с гистерезисом"

.

4. Нелинейное звено типа "Люфт".

Характеристика нелинейного звена типа "Люфт"

Уравнение нелинейного звена типа "Люфт"

,

  • 5. Нелинейное звено типа "Вязкое трение".


При движении объекта управления в жидкой среде на него действует сила вязкого трения, которая пропорциональна квадрату скорости движения объекта.

Уравнение нелинейного звена типа "Вязкое трение"



где – скорость движения объекта; – коэффициент пропорциональности. Направление противоположно скорости движения объекта.

Характеристика нелинейного звена типа "Вязкое трение".

  • 5. Нелинейное звено типа "Сухое трение".


Зависимость силы сухого трения от скорости имеет вид, показанный на рисунке

Иногда спад характеристики (участки и ) на кривой зависимости силы трения от скорости является причиной неустойчивости системы. Если этот спад характеристики не играет существенной роли, то целесообразно упростить зависимость силы сухого трения от скорости , например так, как показано на рисунке

Математическая модель нелинейной характеристики типа "сухое трение" в этом случае будет иметь вид

.


  • Основные особенности нелинейных систем автоматического управления.





  1. Не выполняется принцип суперпозиции для математических моделей нелинейных систем автоматического управления. Правила преобразования структурных схем, аналогичных для линейных систем, в общем случае не существуют.

  2. Так не существуют общие методы решения нелинейных дифференциальных уравнений то, как правило, исследования нелинейных систем носит качественный, приближенный характер.

  3. Процессы в нелинейных системах автоматического управления могут существенно зависеть от

  • начальных условий (существенное отличие от линейных систем),

  • вида входного воздействия.

В одной и той же нелинейной системе при разных начальных условиях и входных воздействиях процессы в системе могут быть:

- устойчивыми

- неустойчивыми

- более сложные виды процессов, не характерных для линейных систем (автоколебания - это устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных, гармонических воздействий; скользящие процессы и др.).

Мы будем рассматривать класс нелинейных систем, который характеризуется следующими особенностями:


  1. В системе автоматического управления можно выделить линейную часть (ЛЧ) – это составная часть системы, которая описывается линейными дифференциальными уравнениями.

  2. В системе управления можно выделить единственный нелинейный элемент (Н.Э.).

Структурную схему системы управления можно представить следующим образом

либо



  • Основные методы исследования нелинейных систем:


  1. Методы фазовой плоскости (фазового пространства).

  2. Методы линеаризации (уравнения первого приближения, гармоническая линеаризация).

  3. Специальные методы.



  • Понятие о методе фазовой плоскости исследования нелинейных систем.


Пусть нелинейная система автоматического управления описывается системой дифференциальных уравнений вида

. (1)

Далее считаем, что начальные условия для системы уравнений (1) и заданы.

Состояние системы в любой момент времени характеризуется двумя значениями , .

Введем в рассмотрение плоскость с координатными осями и . Зафиксируем момент времени и вычислим при этом значении времени величины и . В плоскости отметим точку с координатами . Вычислим следующее значение времени , где – постоянное число. При этом значении аналогично предыдущему определим значения и .

На плоскости нанесем точку с координатами с координатами . Проведем вышеописанное построение для . В результате чего получим на плоскости последовательность точек , ,…, , соединив которые получим графическое изображение кривой , которая называется фазовой траекторией нелинейной системы (1).

Точка называется изображающей точкой – при изменении от 0 до изображающая точка на плоскости описывает кривую – фазовую траекторию. Плоскость называется фазовой плоскостью.

Каждому новому значению начальных условий будет соответствовать на фазовой плоскости своя фазовая траектория.

Множество фазовых траекторий на фазовой плоскости называется фазовым портретом системы автоматического управления.

Значение нелинейных функций и , стоящие в правой части системы (1) в каждый момент времени определяют проекции скорости движения изображающей точки на оси координат и соответственно. Это потому, что они согласно дифференциальным уравнениям (1) соответственно равны и .

На фазовой плоскости существуют характерные точки, которые определяются нулевыми значениями проекции вектора скорости: , , следовательно



(2)

Координаты особых точек определяются как решение системы нелинейных алгебраических уравнений (2). Их может быть несколько.


Пример. Математическая модель системы управления задана уравнениями

.

Требуется найти координаты особых точек (точек равновесного состояния).



Решение.

,

Это система уравнений для определения координат особых точек. Решим ее:



, , .

.

Система обладает тремя состояниями равновесия при условии, что параметры системы и имеют разные знаки.



Координаты первой особой точки.

Координаты второй особой точки

Координаты третьей особой точки

Если и – имеют одинаковые знаки, то у системы одна точка состояния равновесия, ее координаты - и .

В особых точках вектор фазовой скорости нулевой. Это – состояния равновесия системы.

Равенство нулю вектора фазовой скорости создает неопределенность в правой части системы уравнений (1). Поэтому точки равновесия системы называются особыми точками системы на фазовой плоскости.

На фазовых траекториях как правило указывают направление движения изображающей точки. Направление движения определяется направлением фазовой скорости.

Если система дифференциальных уравнений (1) имеет вид



, , (3)

то в этом случае можно сформулировать правило для определения направления движения изображающей точки по фазовым траекториям





  1. в верхней плоскости движение происходит слева направо, т.е. в сторону увеличения , т.к. там

  2. в нижней полуплоскости – движение справа налево, т.к. здесь , величина – уменьшается.

  3. ось пересекается фазовыми траекториями под прямым углом, т.к. там скорость , т.е. имеет место максимум или минимум величины .

(Правило не действительно в общем случае уравнений (1)).

Из системы дифференциальных уравнений (1) можно получить дифференциальные уравнения фазовых траекторий. Для того чтобы получить дифференциальные уравнения фазовых траекторий системы (1) нужно из них исключить время. Это достигается делением второго уравнения системы (1) на первое



.

Существует соответствие между фазовыми траекториями системы управления и видом переходного процесса и наоборот.

Для простоты рассмотрим систему уравнений (3) и пусть состояние равновесия системы – это точка на фазовой плоскости с координатами .

Пусть далее, фазовая траектория системы имеет вид, показанный на рисунке. По заданной фазовой траектории построим переходный процесс в исследуемой системе (3)

На фазовой траектории отметим характерные точки:

– начальные условия;

– возможен экстремум, или

– значение – график пересекает ось .

– возможен экстремум графика функции .

– значение – график функции пересекает ось .

Точка находится первом квадрате , . Между точками , следовательно возрастает, между , следовательно убывает. Это значит, что точке соответствует максимум графика функции . Точке – соответствует точка пересечения графика функции оси . Между точками , следовательно продолжает убывать. Между точками y > 0 и начинает возрастать. Это значит, что – соответствует точке минимума графика функции . Точке соответствует точка пересечения графика функции оси . Продолжая аналогичные построения можно построить весь переходный процесс.

По переходному процессу можно построить фазовую траекторию. Для этого в точках , , …, вычисляют значение – производной . Считая, что эти вычисленные значения , – это координаты изображающей точки наносим их на фазовую плоскость. Соединив их, получим фазовую траекторию исследуемой системы.

Удобство изображения фазовых траекторий на плоскости состоит в том, что в виде единого «фазового портрета» представляется вся совокупность возможных форм процессов в системе управления.

Недостатком является то, что мы вынуждены ограничиваться рассмотрением лишь системами второго порядка. Для исследования систем высокого порядка применяются другие методы.

2)ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК И ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения вида

. (1)

Определим координаты особой точки. Для этого надо решить систему линейных алгебраических уравнений



(2)

относительно неизвестных и . При условии, что матрица



невырождена, т.е. , система линейных уравнений (2) имеет единственное решение , . На фазовой плоскости это соответствует началу координат. Следовательно, линейная система имеет единственную особую точку, которая совпадает с началом координат фазовой плоскости .



  1. Дифференциальное уравнение для фазовых траекторий имеет вид

(3)

Замечание. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(4)

можно привести к виду (1) следующим образом. Введем обозначения , тогда . Разрешим уравнение (4) относительно старшей производной



.

  1. Тогда с учетом принятых обозначений имеем

. (5)

Сравнивая (1) и (5), видим, что



.
  • Способы построения фазовых портретов нелинейных систем по уравнениям первого приближения.





  1. Аналитические методы.

  2. С помощью ЭВМ.

Аналитические методы позволяют в явном виде получать уравнения фазовых траекторий. Здесь возможны следующие основные алгоритмы.

Алгоритм 1. Получив решения уравнений (1) как функции времени и начальных условий , , исключают из последних равенств время . В результате чего получают уравнения фазовых траекторий в явном виде.

Алгоритм 2. Непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений фазовых траекторий

.

Этому предшествует, как правило, преобразование исходной системы к канонической форме записи системы уравнений.



Использование ЭВМ. Это универсальный численный метод пригодный как для уравнений первого приближения, так и для исходных нелинейных уравнений.

  1. Численным методом интегрируется система уравнения

,

.

  1. Запоминается таблица в виде

… … …

График


  1. Строится график, где по оси абсцисс откладываются значения , , … , ,а по оси ординат – значения , , … , .

В зависимости от корней характеристического уравнения линейной системы различают следующие типы особых точек.
  • Случай 1. Корни характеристического уравнения – чисто мнимые.





  1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

характеристическое уравнение которого, будет иметь вид



. (2)
  1. Корни характеристического уравнения


. (3)

  1. Пусть начальные условия для уравнения (1) заданы

, .

Получим уравнение фазовых траекторий. На основании (3) решение дифференциального уравнения (1) имеет вид



, (4)

где и – постоянные интегрирования, которые определяются заданными начальными условиями. Вычислим постоянные интегрирования и . Для этого вычислим предварительно производную по времени



. (5)

Теперь используем заданные начальные условия



.

  1. Таким образом

. (6)

Для того, чтобы получить уравнение фазовых траекторий, нужно из уравнений (6) исключить время . Из уравнений (6) последовательно получаем



Умножим первое уравнение на и сложим со вторым



,

откуда получаем



(7)

Из уравнения (7) находим

при ,

при .

Тогда уравнение (7) преобразуется к виду

Таким образом, фазовые траектории – это эллипсы с центром в начале координат и полуосями



и .

Укажем другой способ получения уравнений фазовых траекторий. Из уравнения (1) получим систему уравнений



. (8)

Поделим уравнения системы (8) (второе на первое)



, (9)

Полученное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение



, (10)

,

, (11)

где – постоянная интегрирования. Если теперь положить, что постоянная в (11) выбирается из заданных начальных условий , согласно равенству



,

то равенства (7) и (11) совпадают.



Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего дифференциального уравнения являются чисто мнимыми числами , то фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.

  • Случай 2. Корни характеристического уравнения – комплексно-сопряженные (фокус)

Рассмотрим дифференциальное уравнение



, (1)

начальные условия , считаем заданными. Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1)



, (2)

его решение имеет вид



, (3)

Пусть теперь параметры уравнения (2) таковы, что выполняются неравенства



, . (4)

Введем обозначения:



, , (5)

Тогда с учетом выполнения неравенств (4) и обозначений (5), корни уравнения (2) будут комплексно-сопряженными и запишутся в виде



, , (6)

Введем в рассмотрение фазовые переменные (переменные состояния) исследуемой системы



, .

Решение уравнения (1) будет



, (7)

где и – определяются начальными условиями. Из уравнения (7) получим





(8)

Из уравнений (7) и (8) при имеем



, (9)

откуда получаем:



, . (10)

Таким образом, уравнения (7) и (8) принимают вид



, (11)

. (12)

Уравнения (11) и (12) – это уравнения фазовых траекторий в параметрическом виде, параметр – время. Пусть теперь . Тогда



, .

Это означает, что изображающая точка по спиральной траектории приближается к началу координат фазовой плоскости (см. рисунок).

При этом процесс на выходе системы имеет вид, показанный на рисунке

Если теперь . Тогда



, .

Это означает, что изображающая точка движется по спиральной траектории, удаляясь от начала координат фазовой плоскости (см. рисунок).

При этом процесс на выходе системы имеет вид, показанный на рисунке

Направление движения изображающей точки определено согласно приведенному выше правилу для системы уравнений:




  1. Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейного дифференциального уравнения являются комплексно-сопряженными , то фазовые траектории представляют собой спирали с центром в начале координат, а особая точка – называется фокусом. При этом, если , то фокус – устойчивый – изображающая точка стремится к началу координат, точке равновесия; если , то фокус неустойчивый, изображающая точка удаляется от начала координат, система неустойчива.

  2. Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, различные и одного знака (узел).


Рассмотрим систему автоматического управления, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений

. (1)

Для системы уравнений (1) матрица динамики системы управления имеет вид



, (2)

а характеристическое уравнение будет



,

,

.

Рассмотрим простейший частный случай: в уравнениях (1) .Тогда уравнение (1) принимает вид



. (4)

Матрица динамики системы (2):



, (5)

а характеристическое уравнение (3)



. (6)

Из уравнения (6) следует, что корни характеристического уравнения равны



, . (7)

Следовательно, коэффициенты и динамики системы (4) в этом случае являются корнями характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений (4). Тогда систему уравнений (4) можно переписать следующим образом



(8)

Форма записи уравнений динамики системы управления в виде (8) называется канонической диагональной формой (матрица динамики системы – диагональная)



, (9)

Из уравнений (8) получим дифференциальные уравнения фазовых траекторий



. (10)

Это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, последовательно получаем



,

,

. (11)

Получили в явном виде уравнения фазовых траекторий. Так как по условию корни характеристического уравнения действительны, различны и одного знака ( ), то это – уравнение парабол.

Есть ли среди фазовых траекторий траектории, которые являются прямыми, проходящими через начало координат (особую точку)?

Пусть – уравнение прямой, проходящей через начало координат, тогда . С учетом последних равенств уравнение (10) принимает вид



откуда получаем , . А это значит, что прямая (координатная ось ) является фазовой траекторией.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение фазовых траекторий имеет вид

(12)

и, аналогично предыдущему, считаем , . Тогда из (12) получаем



,

, .

Прямая (координатная ось ) также является фазовой траекторией.

Следовательно, есть две прямые, которые являются фазовыми траекториями – это в данном случае – координатные оси.

Итак, фазовый портрет системы имеет следующий вид

Устойчивый узел Неустойчивый узел

  1. Вывод. Если корни характеристического уравнения для дифференциальных уравнений динамики системы управления действительны, различны и одного знака, то фазовые траектории параболы, а особая точка – узел. При этом, если , - неустойчивый узел, а при , - устойчивый узел.

Как получить уравнения фазовых траекторий и построить фазовый портрет для системы управления, математическая модель которой задана системой уравнений (1)?

Для этой цели Выполним замену переменных по формулам



,

,

или в векторно – матричной форме записи ,где - невырожденная матрица этого преобразования . Матрица составлена из собственных векторов матрицы . Так как справедливо следующее равенство , то система исходных уравнений относительно новых переменных в векторно – матричной форме записи имеет вид . Так как матрица состоит из собственных векторов матрицы и корни ее характеристического уравнения и действительны и различны, то матрица является диагональной, то есть



.

Это диагональная форма записи матрицы динамики системы управления, записанной относительно новых переменных состояния и . Следовательно, система уравнений (1) в новых переменных имеет вид



,

аналогичный системе уравнений (8) и уравнение фазовых траекторий системы будет



.

Так как , то можно получить уравнения фазовых траекторий относительно старых переменных состояния . Здесь следует отметить, что замена переменных не меняет координаты и тип особой точки.

Какое положение в плоскости займут координатные оси , которые являются фазовыми траекториями? Для этой цели из уравнений (1) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

.

Так же как и раньше полагаем (прямая, проходящая через начало координат).



, .

.

Это квадратное уравнение относительно . Решив его – найдем уравнения прямых, которые являются фазовыми траекториями в плоскости (оси координат и ).

Фазовый портрет и переходный процесс на выходе системы (1) имеет вид

При замене системы координат – изменяется угловая ориентация осей координат.


  • Случай 4 Корни характеристического уравнения действительны и разных знаков (седло)


Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

, (1)

начальные условия заданы , .

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1) имеет вид

, (2)

его корни, определяемые равенством



, (3)

являются действительными и имеют разные знаки ( ).


  1. Решение уравнения (1) аналогично предыдущему случаю имеет вид

. (4)

Аналогично предыдущему случаю получаем, что фазовыми траекториями являются прямые и y, где числа и определяются как решение квадратного уравнения



. (5)

Но так как и разных знаков, то эти прямые находятся в разных квадрантах фазовой плоскости.

Так как корни различны, действительны и имеют разные знаки, то справедливо , . Это значит, что процессы в системе расходящиеся, система неустойчива. Фазовые траектории в данном случае имеют вид

Для исходной системы уравнений уравнения асимптот



, ,

,

, ,

.
  • Случай 5 Корни характеристического уравнения равны кратные (вырожденный узел ).

  • Рассмотрим систему

.
  1. Матрица динамики системы


.

Характеристическое уравнение системы



.

Так как корни характеристического уравнения: , то существует такая невырожденная матрица линейного преобразования , которое приводит исходную систему к виду , где в данном случае матрица имеет вид



.

Тогда относительно переменных и можно записать следующую систему дифференциальных уравнений в виде



. (*)

Решение системы будет



(**)

Система уравнений (*) не изменится при одновременной замене на и на , поэтому фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат. Таким образом, достаточно изучить поведение фазовых траекторий только в верхней полуплоскости ( ).

В нижней полуплоскости фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат.

Положительная и отрицательная полуоси являются фазовыми траекториями.

Для того чтобы получить уравнения фазовых траекторий исключим из уравнений (**) время.

, , ,



Если , то устойчивый вырожденный узел


Если , то не устойчивый вырожденный узел

Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейному дифференциальному уравнению кратны, то особая точка называется вырожденным узлом, при этом, если , то вырожденный узел устойчивый, если же , то вырожденный узел не устойчивый.

  • АЛГОРИТМ

  • исследования линейных систем автоматического управления методом фазовой плоскости.


  1. По структурной схеме системы автоматического управления получить передаточную функцию системы.

  2. Записать характеристическое уравнение системы автоматического управления.

  3. Решить характеристическое уравнение и определить тип особой точки.

  4. Составить математическую модель системы автоматического управления в форме системы дифференциальных уравнений.

  5. Установить, есть ли среди фазовых траекторий траектории, являющиеся прямыми линиями

  6. Выполнить преобразование дифференциальных уравнений системы автоматического управления к канонической форме записи и получить уравнение фазовых траекторий.

  7. Построить фазовый портрет системы автоматического управления.
  • ПРИМЕР. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке


Определить тип особой точки системы. Составить уравнение фазовых траекторий.



РЕШЕНИЕ. Уравнения динамики системы

,

.

Матрица динамики системы



.

Характеристический полином системы:



.

Корни характеристического полинома , .

Особая точка устойчивый узел.

Для того, чтобы получить уравнения фазовых траекторий, преобразуем исходную схему к канонической форме записи. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Следовательно, матрица динамики исходной системы преобразуется к диагональной. Найдем соответствующую матрицу преобразования. Имеем



,

Найдем собственный вектор матрицы , который соответствует .



,

,

( может быть любым) .

Найдем собственный вектор матрицы , который соответствует .



,

.

Второе уравнение выполняется при любых значениях и . Из первого уравнения получаем . Полагая имеем . Следовательно



.

Таким образом, матрица линейного преобразования имеет вид



,

а обратная к ней матрица



.

Тогда

В новых переменных { } уравнения динамики системы

.

Дифференциальные уравнения фазовых траекторий



.

Откуда получаем



.

Определим постоянную интегрирования в зависимости от начальных условий. Имеем



, , ,

,

откуда


.

ПРИМЕР. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке

Определить тип особой точки системы. Составить уравнение фазовых траекторий.

РЕШЕНИЕ. Уравнения динамики системы

Матрица динамики системы:



.

Характеристический полином системы



.

Корни характеристического полинома , кратность корня равна двум. Особая точка: устойчивый вырожденный узел.

Так как корни характеристического уравнения кратны, то каноническая форма записи матрицы –жорданова. Найдем матрицу этого преобразования. Последовательно получаем:

,

, ,

,

, ,

, ,

,



,

, ,

,

, .

Так как столбцы матрицы - это собственные векторы матрицы , то



В новых переменных { } уравнение динамики системы



,

.

Уравнение фазовых траекторий:



, .

  • Влияние параметров системы управления на тип особой точки. Бифуркация.


Рассматривается линейная система автоматического управления, собственное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями

где ; начальные условия , считаются заданными.

Характеристическое уравнение системы

.

Координаты особой точки . В зависимости от корней характеристического уравнения определяется тип особой точки – характер собственных движений системы в окрестностях особой точки. В характеристическом уравнении системы



обозначим , . Тогда характеристическое уравнение перепишется следующим образом



.

Корни характеристического уравнения вычисляются согласно равенства



.

В плоскости параметров системы и можно выделить области, занимаемые различными типами состояния равновесия (типами особых точек см. рисунок).

Парабола отделяет колебательные движения системы от апериодических (фокусы - узлы); – седла. Центры занимают пограничную линию между устойчивыми и неустойчивыми фокусами.

При изменении параметров системы качественные свойства особой точки (тип особой точки) изменяются.

Изменение типа особой точки системы при изменении значений ее параметров называется БИФУРАКЦИЕЙ.

Из рисунка видно, как может меняться тип особой точки при изменении значения того или иного параметра системы ; : неустойчивый фокус  центр  устойчивый фокус  устойчивый узел.


  • 3)ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.


Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

, (1)

где функции и являются аналитическими во всех точках фазовой плоскости.

Определим на фазовой плоскости координаты точек, являющихся состояниями равновесия. Координаты этих точек являются решением системы нелинейных уравнений

. (2)

Обозначим одно из решений системы (2) через , . В общем случае система уравнений (2) может иметь несколько решений. Исследуем динамику системы (1) в некоторой окрестности этого состояния равновесия. Для этого, с помощью замены переменных



, ,

,

перенесем начало координат фазовой плоскости в особую точку с координатами (см. рисунок).


По формуле Тейлора функции и в окрестности особой точки представим в виде

,
,

где , - содержат все члены разложения функции и по формуле Тейлора, у которых степени и выше первой. Поэтому в окрестности особой точки слагаемыми и можно пренебречь. Далее поступают следующим образом.

1. Вычисляют значения частных производных функций и в точке , значения которых обозначают соответственно как , , , , то есть

, ,

, .

Тогда


(3)
  1. 2. Так как и , то

(4)

, . (5)

3. Осуществляют подстановку равенств (3) и (4), (5) в уравнения (1):



. (6)
  • Так как в особой точке справедливо и , то окончательно получаем


. (7)

Система уравнений (7) является линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Система уравнений (7) описывает динамику системы (1) в некоторой окрестности особой точки , в окрестности состояния равновесия системы.

Система уравнений (7) называется системой уравнений первого приближения. Динамика системы уравнения в окрестности особой точки с достаточной степенью точности описывается системой линейных уравнений (7) – уравнениями первого приближения.
ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

В случае линейных систем автоматического управления характер (тип) особой точки определяет движение системы при любых отклонениях от состояния равновесия. Для нелинейных систем характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки. При рассмотрении поведения фазовых траекторий нелинейных систем на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые траектории.

Различают три основных типа особых траекторий:


  1. Особые точки (состояние равновесия). Типы особых точек рассмотрены выше.

  2. Изолированные замкнутые траектории. Изолированность замкнутой траектории означает, что в достаточно малой ее окрестности нет других замкнутых траекторий. Изолированные замкнутые траектории называются предельным циклами. Предельным циклом на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы.

Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая  –окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начинающиеся в  –окрестности, асимптотически при приближаются к предельному циклу (см. рисунук).


Устойчивым предельным циклам в системе автоматического управления соответствуют автоколебания. Характерная черта автоколебаний – локальная независимость их параметров от начальных условий.

Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при , то предельный цикл называется неустойчивым (см рисунок).



  1. Сепаратрисы. Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на области с фазовыми траекториями различных типов. В окрестности особой точки типа «седло» сепаратрисы являются асимптотами. Точки равновесия, предельные циклы и сепаратрисы являются особыми траекториями. Таких траекторий обычно имеется конечное число на фазовой плоскости. Определив эти особые траектории, мы тем самым находим все качественные особенности фазовых траекторий на плоскости, все виды и особенности процессов в нелинейных системах. Особые траектории разбивают всю фазовую плоскость на ряд областей; характер движения в каждой из этих плоскостей часто бывает нетрудно определить, зная характер устойчивости точек равновесия и предельных циклов. Так получается полная качественная характеристика всех возможных типов движений системы.

Особые траектории разбивают фазовую плоскость на ряд областей. Характер движения в каждой из этих областей нетрудно определить, если известен характер особых точек и определена устойчивость предельных циклов. Таким образом, можно получить качественную картину всевозможных движений динамических систем.

ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Рассмотрим нелинейную систему автоматического управления, динамика которой описывается уравнениями



, (1)

где функции и полагаем аналитическими во всех точках фазовой плоскости.

Определим точки, характеризующие состояние равновесия, как решение системы нелинейных уравнений

(2)

относительно двух неизвестных и . Обозначим одно из решений уравнений (2) через и . В общем случае система уравнений (2) может иметь не одно, а несколько решений. Исследуем характер фазовых траекторий в окрестности этого состояния равновесия. Для этого с помощью замены переменных



, ,

,

перенесем начало координат в особую точку с координатами (см. рисунок).


По формуле Тейлора функции и в окрестности особой точки представим в виде



,

(3)


,
где , - содержат все члены разложения функции и по формуле Тейлора, у которых степени и выше первой. Поэтому в окрестности особой точки слагаемыми и можно пренебречь.

Тогда с учетом равенств (2) и (3) и полагая



, ,

, .

получим уравнения первого приближения для системы (1) вида



. (4)

Это линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая описывает динамику системы в окрестности состояния равновесия.

С помощью системы уравнений (4) можно выполнить построение фазового портрета нелинейной системы. Возможность построения фазового портрета нелинейной системы по уравнениям первого приближения проиллюстрируем следующим примером.

ПРИМЕР. Установить типы особых точек нелинейной системы

  • ПРИМЕР. Установить типы особых точек нелинейной системы


Построить фазовый портрет.


  1. Решение. Определим координаты особых точек


, ,

, ,

, , .

Координаты особых точек:



(I) , (II) , (III)

Исследуем типы особых точек:



(I) особая точка , ее координаты .

В окрестности этой особой точки является бесконечно малой более высокого порядка малости чем переменные и . Поэтому уравнения системы первого приближения (уравнения в отклонениях) будут иметь вид



.

Это линейная система дифференциальных уравнений относительно и . Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение





– корни характеристического уравнения чисто мнимые, следовательно, особая точка типа ЦЕНТР.

(II) особая точка, ее координаты .

Составим уравнение в отклонениях:



,

, , .

.

Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение



,

корни характеристического уравнения



.

Корни характеристического уравнения действительные различного знака; особая точка СЕДЛО.



(III) особая точка ее координаты .

Другой способ определения уравнений первого приближения: перенос начала координат: , ,




Теперь в новых координатах особая точка .Аналогично первой особой точке является в окрестности бесконечно малой более высокого порядка, чем и .Тогда уравнения первого приближения принимают вид



.

Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение



,

корни характеристического уравнения



,

следовательно, особая точка – СЕДЛО.



Оси эллипсов в окрестности особой точки (I). Дифференциальные уравнения системы в окрестности этой особой точки

,

дифференциальное уравнение фазовых траекторий



,

, ,

,

,

, , .

Прямая ось эллипса.



Асимптоты в особой точке (II).

,

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий



,

, ,

, ,

, ,

,

Асимптоты в окрестностях особой точки (III).



, , .

Асимптоты в особых точках (II) и (III) совпадают совпадают тангенсы углов наклона этих асимптот.

Для определения движения изображающей точки по фазовым траекториям найдем компоненты вектора фазовой скорости в точке пересечения асимптоты, проходящую через точку с угловым коэффициентом

и осью ; уравнение асимптоты



,

координаты точки :



, ,

компоненты вектора скорости в точке :



, .

Фазовый портрет системы
скачать файл



Смотрите также:
Требования, предъявляемые к математическим моделям систем автоматического управления
553.07kb.
Экзаменационные вопросы по курсу: «Типовые элементы систем автоматического управления» Гр. 3-а-1
27.24kb.
Об одном методе управления транспортными потоками
111.63kb.
Устойчивость систем автоматического управления
37.32kb.
Требования, предъявляемые к личности опекуна или попечителя
26.02kb.
Программа вступительных испытаний по математическим методам и моделям в экономике
115.28kb.
Приложение 3 Технические требования, предъявляемые к вагонам грузового парка в межгосударственном сообщении
129.39kb.
В. С. Алиев методология построения информационных систем управления
49.17kb.
Правила устройства воздушных линий электропередачи напряжением 6 20 кв с защищенными проводами пу влз 6
254.31kb.
Единый код для эвристического исследования и автоматического решения нелинейных систем уравнений
47.07kb.
Требования, предъявляемые к выполнению и оформлению контрольной работы
48.22kb.
Структурные аспекты теории автоматического управления
99.53kb.