vesnat.ru страница 1
скачать файл
Темы курсовых работ

на 2012-2013 учебный год

профессор В.А. Тиморин


Курс

Тема

1 курс

1. Аналоги задачи Сильвестра.

Следующая задача Сильвестра нашла многочисленные и глубокие обобщения: существует ли набор точек на плоскости, такой, что каждая пара точек коллинеарна некоторой третьей точке, но не все точки коллинеарны?


Источники: В. Тиморин, С. Табачников, Прямая Сильвестра, Квант, 2009. № 5 и 6. C. 2-6 и 6-9

2. Размерность Хаусдорфа.

Хаусдорф ввел понятие размерности, имеющее смысл для любого метрического пространства - размерность Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа может быть любым неотрицательным действительным числом, в частности, дробным или даже иррациональным. Таковы размерности многих фрактальных множеств, возникающих в топологии и теории динамических систем (известные примеры включают канторовы множества, ковры Серпинского, множества Жюлиа, и т.д.). Посчитайте хаусдорфовы размерности некоторых фракталов.


Источники:
K. Falconer, Fractal geometry, Wiley 2003

3.Отображения, переводящие прямые в прямые.

Мебиус в 1827 году доказал, что взаимно-однозначное отображение проективной плоскости в себя, переводящее прямые в прямые, является проективным (т.е. дробно-линейным). Хотя доказательство Мебиуса предполагало непрерывность рассматриваемого отображения, позже выяснилось, что над действительными числами предположение непрерывности не нужно. (Это связано с отсутствием нетривиальных автоморфизмов поля действительных чисел).


Источники:
М. Берже, Геометрия, Том 1, М: Мир, 1984


1-2 курс

1.Геометрия тканей. Ткань на плоскости - это несколько семейств (скажем 3) кривых, таких что каждое семейство заметает область на плоскости, и кривые из разных семейств не касаются. Разберите теорему о том, как выглядят прямолинейные 3-ткани, переводящиеся заменой координат в ткань из прямых, параллельных сторонам правильного треугольника.
Источники:
В. Бляшке, Введение в геометрию тканей, Физматгиз, 1959

2. Траектории частиц в центральном поле. Приведите пример, когда траектория частицы в центральном поле плотна в некотором плоском кольце. Опишите все центральные поля, в которых все ограниченные траектории замкнуты.
Источники:
В.А. Арнольд, Математические методы классической механики, URSS, 2003

3. Статистика цепных дробей. Как часто данное натуральное число встречается в качестве элемента цепной дроби?
Источники:
А.Я. Хинчин, Цепные дроби, Физматлит, 1960

4. Композиция бинарных квадратичных форм. Бинарная квадратичная форма - это функция вида
f(x) = a x12 + b x1 x2 + c x22, x = (x1, x2),
где a, b, c - постоянные коэффициенты. Важной задачей является изучение множества значений квадратичной формы с целыми коэффициентами (на векторах с целыми координатами). Пусть f и g - квадратичные формы одинакового дискриминанта. Тогда существует квадратичная форма h и билинейное отображение s: Z2 x Z2 -> Z2, такие, что h(s(x,y)) = f(x) g(y). В частности, любое значение формы h является произведением значения формы f на значение формы g. Этот факт заметил Гаусс, и ввел естественную билинейную операцию s, превращающую несократимые квадратичные формы данного дискриминанта (рассматриваемые с точностью до положительных целочисленных замен переменных) в абелеву группу. Операция в этой группе называется композицией квадратичных форм. Приведите и докажите явные формулы для композиции (например, следуя Гауссу и Дирихле).
Источники:
К.Ф. Гаусс, Труды по теории чисел, Изд-во АН СССР, Москва, 1959
Л. Дирихле, Лекции по теории чисел, М: ОНТИ, 1939


1-3 курс

1. Задача Гурвица про произведения сумм квадратов. В 1898 году Гурвиц поставил такую задачу: описать все тройки натуральных чисел (r,s,n), для которых возможна формула вида
(x12 + x22 + ... + xr2) (y12 + y22 + ... + ys2) = z12 + z22 + ... + zn2.
В этой формуле все zk - билинейные комбинации переменных xi и yj. Примеры формул такого вида можно получить, исходя из правила умножения комплексных чисел, кватернионов или октав. Задача Гурвица открыта до сих пор, хотя многие выдающиеся математики пытались ее решить, и созданный ими топологический аппарат (характеристические классы, вещественная К-теория) оказался полезным во многих других областях математики. Сам Гурвиц и, независимо, Радон, полностью описали случай s = n. Он связан с представлениями алгебр Клиффорда. Имеется еще несколько менее общих формул рассматриваемого вида. Разберите примеры таких формул (начиная с кватернионов и октав). Для 2 и 3 курсов - классифицируйте формулы Гурвица с малым числом слагаемых.
Источники:
И.Л. Кантор, А.С. Солодовников, Гиперкомплексные числа, Москва: Наука, 1973
D. Shapiro, Products of sums of squares, Expo. Math. 2 (1984), 235-261
B. Eckmann, Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon ueber die Komposition quadratischer Formen, Comm. Math. Helvetici (1929), 358-366

2 курс

1.Число вращения, теорема и пример Данжуа. Рассмотрим гомеоморфизм окружности на себя. Сопряжен ли он повороту? Оказывается, для дважды дифференцируемого гомеоморфизма с иррациональным числом вращения, ответ положительный. А если гомеоморфизм только один раз дифференцируем, есть контрпримеры.
Источники:
А. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999

2-3 курс

1. Теорема о максимальном числе граней. П. Макмюллен в 1970 году решил следующую задачу, стоявшую открытой довольно долго: среди всех выпуклых многогранников в Rn с фиксированным числом вершин, найти многогранники с максимальным числом граней размерности k. Интересный класс многогранников (циклические многогранники) решает эту задачу одновременно для всех k - это было гипотезой, которую и доказал Макмюллен. Опишите комбинаторные свойства циклических многогранников. Объясните доказательство теоремы о максимальном числе граней. Постройте другие примеры многогранников, реализующие максимальное число граней.
Источники:
А. Бренстед, Введение в теорию выпуклых многогранников, М: Мир, 1988
В. Тиморин, Комбинаторика выпуклых многогранников. М: МЦНМО, 2002.

2.Множество Мандельброта связно. Множество Мандельброта - один из самых известных фракталов. Это множество всех комплексных чисел c, для которых последовательность c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ..., ограниченна. Множество Мандельброта очень важно в теории комплексных динамических систем - благодаря явлению ренормализации, оно возникает практически во всех случаях, когда рассматриваются итерации голоморфных отображений, аналитически зависящих от параметра. Как доказали Дуади и Хаббард, множество Мандельброта связно. Разберите доказательство этого утверждения. Знаменитая гипотеза о том, что множество Мандельброта также локально связно, на протяжении многих лет не поддается активным атакам со стороны многих замечательных математиков.
Источники:
Дж. Милнор, Голоморфная динамика, РХД, 2000 L. Carleson, T.W. Gamelin, Complex dynamics, Springer, 1992

3. Метод Ньютона. (руководство совместно с Д.Шляйхером).
Источники:
J. H. Hubbard, D. Schleicher, S. Sutherland, How to Find All Roots of Complex Polynomials by Newton's Method. Inventiones Mathematicae vol. 146 (2001), no.1, pp. 1-33 Carleson, T.W. Gamelin, Complex dynamics, Springer, 1992

3 курс

1. Бильярды. ( руководство совместно с С.Табачниковым).
Источники:
S. Tabachnikov, Geometry and billiards. Amer. Math. Soc., 2005

скачать файл



Смотрите также:
Следующая задача Сильвестра нашла многочисленные и глубокие обобщения: существует ли набор точек на плоскости, такой, что каждая пара точек коллинеарна некоторой третьей точке, но не все точки коллинеарны
46.49kb.
План-конспект Тема урока: «Координатная плоскость»
70.36kb.
Лекция №1 Предмет начертательной геометрии. Методы проецирования. Эпюр Монжа. Точка, прямая на эпюре. Конкурирующие точки
160.6kb.
А. Н. Туманова в пособии рассматривается задача аппроксимации экспериментальных точек полиномиальной функцией методом наименьших квадратов
193.79kb.
Итак, вы решили, что надо ботить, но не знаете с чего начать
168.47kb.
Площадь Европы (включая острова) 10,08 млн
109.58kb.
Занятие 18. Окружность. Вписанный угол
23.11kb.
Тема урока Основное содержание темы, термины и понятия
816.91kb.
Более реалистическая модель континуума требует перехода от абстрактных, не существующих в природе точек «нулевого размера» к динамическому единству сверхточке
28.13kb.
Тема Основные понятия геоинформационных систем 6
1811.97kb.
Квантовые точки являются одним из классических нанообъектов, обещающих широкий диапазон практических применений. Однако фактически они являются «эмбриокристаллами», недалеко ушедшими от
17.77kb.
= 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением
23.77kb.