vesnat.ru страница 1
скачать файл


Городское управление образования

XV научно-практическая конференция «Шаг в будущее »

Муниципальное образовательное учреждение

гимназия №33



Построение многогранников с помощью куба.

Выполнила: ученица 11 «А» класса Мезенина Алёна

Научный руководитель:

Коногорова Л.А, учитель математики высшей квалификационной категории гимназии №33


Улан-Удэ


2008

Оглавление

Введение 3

Глава 1. Понятие, свойства правильных, полуправильных, правильных звёздчатых многогранников

§ 1. Понятие и свойства правильного многогранника 4

§ 2. Понятие полуправильных многогранников 5

§3. Понятие правильных звёздчатых многогранников 6

Глава 2.Задачи на построение правильных ,полуправильных и правильных звёздчатых многогранников с помощью куба………………………….. …………………………………….................8

Заключение ………………………………………………………………………….…………………...…11

Список использованной литературы…. ..12

Приложения



Введение

Правильные многогранники с древних времён привлекали к себе внимание ученых, архитекторов, художников. Их поражала красота, совершенство, гармония этих много­гранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мире. Подробно описал свойства пра­вильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Именно поэтому правиль­ные многогранники называются также телами Платона. В учебных пособиях по геомет­рии за курс средней школы даны весьма скудные сведения о многогранниках. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулиро­вать много интересных задач. Решение предложенных задач позволит увидеть, что опреде­ленные приемы построения помогают в значительной мере упростить как само построение, так и понимание свойств фигуры. Один из таких приемов — «привязывание» сложной фигу­ры к фигуре более простой, в частности, к кубу. Этот прием, хорошо известный геометрам, в школе почти не применяется. И напрасно, поскольку обращение к кубу помогает нам, как по ступенькам, подниматься от одного Платонова тела к другому, переходя от простых за­дач, к более сложным.



Цель и задачи исследования: Целью данного исследования является изучение по­строения многогранников разных видов: правильных, полуправильных, звездчатых. Достижение данной цели реализуется через постановку и решение следующих задач:

  • анализ учебной и научной литературы по данной теме;

  • ознакомление с понятиями правильного, полуправильного, звездчатого многогранников, их видами и свойствами;

  • решение практических задач на построение данных многогранников с использованием куба;

- выяснение целесообразности данного приёма.


Глава 1. Понятие, свойства правильных, полуправильных, правильных звёздчатых многогранников
§ 1 Понятие и свойство правильного многогранника

МНОГОГРАННИК - это поверхность, составленная из многоугольников и ограничи­вающая некоторое геометрическое тело. Эти многоугольники называются гранями, их сто­роны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. Многогранник, у которого гра­нями являются равные правильные многоугольники, и число ребер, выходящих из каж­дой вершины многогранника, одинаково (т. е. все многогранные утлы равны), называется правильным.

Если все грани - правильные р- угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {р, q}. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814 - 1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе, (таблица!)

Простейшими правильными многогранниками является правильный тетраэдр, граня­ми которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда на­зываемый правильным гексаэдром)- прямая квадратная призма, все шесть граней которой -квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Ес­ли две одинаковые квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних тре­угольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Пра­вильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треуголь­ной антипризмы

Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере. Кроме этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.



Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {р, g} и его срединную сферу 5. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро от­резком перпендикулярной прямой, касательной к .V в той же точке, мы получим N1 ребер многогранника, двойственного многограннику {р,q}. Нетрудно показать, что гранями двой­ственного многогранника служат правильные g-угольники и что к каждой вершине примы­кают р граней. Следовательно, многограннику {р,q}двойствен правильный многогранник {q,р}. Существуют две пары правильных многогранников, для которых число вершин одного равно числу граней другого -октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр.

Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрии, которыми они обладают. Под симметрией многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве ( поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменным множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро пли грань либо со­храняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой верши­ны, другого ребра или другой грани.

Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть L - прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг L на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее. - плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости (дви­жение, переводящее любую точку Р в точку Р, такую, что пересекает отрезок РР под прямым углом и делит его пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя отражение относи­тельно плоскости с поворотом вокруг прямой L , мы получим еще одну симметрию.

Симметрия, являющаяся произведением чет­ного числа отражений, называется прямой, в противном случае - обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой - прямая симметрия. Любое отражение есть обратная сим­метрия. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Куб и октаэдр имеет 24 прямых симметрии. Икосаэдр и додекаэдр имеют 60 прямых симметрии.

§2.Понятие полуправильных многогранников.



Определение'. Полуправильным многогранниками: называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно и с разным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К полу правильным многогранникам относятся правильные п-угольные призмы, все ребра которых равны, т. е. боковыми гранями которых являются квадраты. Например, правильная шестиугольная призма, изображенная на рисунке 6, имеет своими гранями два правильных шестиугольника - основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

К полуправильным многогранникам относятся также так называемые п-угольные антипризмы, все ребра которых равны. На рисунке 7 изображена шестиугольная антипризма, полученная из шестиугольной призмы поворотом одного из оснований относительно другого на угол 30°. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания. Если высоту призмы чтобы все боковые грани являлись правильными треугольниками, то по­лученная антипризма будет полупра­вильным многогранником.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранни­ков имеется еще только 14 полупра­вильных многогранников, 13 из которых впервые открыл и описал древне­греческий математик, физик и меха­ник Архимед (287—212 до н. э.). Поэтому эти полуправильные много­гранники называются также телами Архимеда.

Самые простые из них получаются ; из правильных многогранников опе­рацией «усечения», состоящей в отсе­чении плоскостями углов многогран­ника.

Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то , получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 8). Из них четыре— правильные шестиугольни­ки и четыре правильные треуголь­ники. В каждой вершине этого много­гранника сходится три грани.

Если указанным образом срезать углы октаэдра и икосаэдра, то получим усеченный октаэдр (рис. 9) и усеченный икосаэдр (рис. 10). Обратите внимание, что поверхность футбольного мяча изготавли­вают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 11) и усеченный додекаэдр (рис. 12).

Заметим, что если к этим усеченным многогранникам опять применить операцию «усечения», то полуправильные многогранни­ки уже не получатся.

Для того чтобы получить еще один полуправильный много­гранник, прове-


дем в кубе секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправиль­ный многогранник, который называется кубооктаэдр (рис. 13), Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название — кубооктаэдр.

Аналогично если в додекаэдре секущие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется цкосододекаэдр (рис. 14). У него двенадцать граней — правильные пятиугольники и два­дцать граней — правильные треугольники, т. е. все грани додека­эдра и икосаэдра.

К последним двум многогранни­кам снова применим операцию «усе­чения». Получим соответственно усе­ченный кубоокгаэдр (рис. 15) и усе­ченный икосододекаэдр (рис. 16).

Мы рассмотрели 9 из 13 опи­санных Архимедом иолуправильных многогранников. Четыре оставших­ся — многогранники более сложного типа. Перечислим их.



Ромбокубооктаэдр (рис. 117). У него 26 граней, из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников.

Ромбоикосододекаэдр (рис. 18). У него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

«Плосконосый» (иногда называ­ют «курносый») куб (рис. 19). У него 38 граней, из них 6 квадратов, 32 правильных треугольника.

«Плосконосый» («курносый») до­декаэдр (рис. 20). У него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольни­ков и 80 правильных треугольников.

Интересно отметить, что на протя­жении более двух тысяч лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогран­ников не существует. И только совсем недавно, в середине нашего столетия, был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней чаши на угол 45° (рис. 21).



§3.Понятие правильных звёздчатых многогранников.

Кроме правильных и полуправильных многогранников, краси­вую форму имеют так называемые звездчатые многогранники. Мы рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером, а два других в 1840 г. построил французский инженер, механик и матема­тик Л.Пуансо (1777—1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера - Пуансо. Они получаются из правильных многогранников продол­жением их граней или ребер .Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатых многогранников не получается.

Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 21, а), и в результате получаем многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 21, б).

При продолжении граней додекаэдра возникает две возможно­сти. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники (рис. 23, а), тогда получается много­гранник, который называется большой додекаэдр (рис. 23, б). Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники (рис. 24, а), тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр (рис. 24, б).Рассмотрим теперь икосаэдр. При продолжении его граней получается многогранник, который называется большой икосаэдр (рис. 25).

Аналогично тому, как из правильных многогранников получают правильные звездчатые многогранники, так из полуправильных многогранников получают полуправильные звездчатые многогран­ники. В настоящее время известен 51 вид таких многогранников, по неизвестно, исчерпываются ли ими все такие многогранники.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности. С помощью звездчатых многогранников в скучную архитектуру наших городов в царство прямоугольных форм и углов — могут ворваться невиданные космические формы. На рисунке 26 вы видите оригинальную конструкцию, выполненную доктором искус­ствоведческих наук В. Н. Гамаюновым. Именно это неожиданное сочетание длинных прямоугольных балок с каркасом сложного звездчатого многогранника было положено в основу проекта административного здания в одном из итальянских городов. А необычный многогранник «Звезда» В. Н. Гамаюнова (рис. 27) вдохновил архитектора В. А. Сомова на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске (рис. 28).Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки — это звездчатые многогранники . С древности люди пытались описать всевозможные типы снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.


Глава2. Задачи на построение правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение. Пусть дан куб АВСDА1 В1С1D1. Рассмотрим какую-либо его верши­ну, например, А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную A1- вершины куба В1 , С1 , D. Точки А, В1 С 1D. являются вершинами правильного тетраэдра (рис. 2, а). Действительно, каждый из отрезков АВ1 ,B1.C1 С1.D,АD В1D и АС1, очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирами­де с вершиной А и основанием В1 С1 D все [рани - правильные треугольники, следова­тельно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра A1BCD1 равного первому и также вписанного в данный куб (рис. 2. б). Следовательно, можно построить ровно два (различных, но равных друг другу) правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Задача 2. Построить правильный октаэдр, вписанный в данный куб.

Решение. Используем вышеприведенное свойство двойственности куба и пра­вильного октаэдра, а именно, докажем, что многогранник с вершинами в центрах граней куба — правильный октаэдр (рис. 3).

Этот многогранник имеет 6 вершин (у куба 6 граней). 12 ребер и 8 граней - тре­угольников. Таким образом, можно утверждать, что построенное тело — октаэдр.

Для доказательства того, что он правильный, надо установить равенство всех ребер октаэдра (чем будут доказаны правильность и равенство всех граней октаэдра) и сходимость в каждой вершине одинакового числа ребер. Проектируя ребра построенного многогранника на плоскость, проходящую через центры боковых граней куба, находим, что проекции их равны, следовательно, равны и ребра многогранника. В каждой вершине сходятся 4 ребра, так как каждый из центров граней куба можно соединить с четырьмя соседними.

Итак, мы доказали, что полученное тело - правильный октаэдр. Очевидно, зада­ча имеет единственное решение.

Докажем вторую часть свойства двойственности для куба и октаэдра, решив приведенную ниже задачу.

Задача 3. Опишите около данного куба правильный октаэдр.

Решение. Проведем анализ задачи. Рассмотрим правильный октаэдр и вписан­ный в него куб (вершины куба являются центрами граней октаэдра). Докажем, что ребро куба равно 1/3 диагонали октаэдра.

Пусть А1 и В1.- проекции вершин куба А и В на ребра MN и NK октаэдра соответственно (рис. 4). Тогда А1В1 =0.5МК (как средняя ли­ния треугольника МNK)SАВ SА1В1 с коэффициентом подобия К=2/3 и В - цен­тры граней CMN и SNK соответственно, т. е. делят апофемы граней в отношении 2:1,считая от вершины S). Поэтому АВ = ⅔A1B1=2/3 * 1/2МК = ⅓МК

Отсюда легко виден способ построения правильного октаэдра, описанного около ку­ба.



Построение. Через центры противоположных граней куба проведем прямые, которые пересекаются в точке О - центре куба - и являются взаимно перпендикулярными (рис. 5). На каждой из этих прямых по обе стороны от точки О отложим отрезки длины За/2, где а - длина ребра куба. Концы этих отрезков X, X’, У, У’ ,Z и Z(рис. 5) являют­ся вершинами правильного октаэдра.

Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть квадраты ХУХ'У’, ХZ.Х'Z',УZУ’Z' (это плоские четырехугольники, у которых диагонали перпендикулярны, равны и де­лятся точкой пересечения пополам по построению). Они равны, а значит, равны их стороны ХУ= УХ' = Х'У’= ХУ’=ZХ = ZУ = ZХ '= ZY= Z'X=Z' У =Z' X '=ZY. Следовательно. грани многогранника ХУХ УZZ-равные правильные треугольники (их восемь. ХУХ' У’ZZ- восьмигранник), и в каждой вершине сходится по 4 ребра. Задача имеет единственное решение.



Задача 4.Построить правильный икосаэдр с помощью куба

Будем строить икосаэдр как многогранник, вписанный в куб. По­местим на средних линиях граней куба по одному отрезку одинаковой длины н с концами на равных расстояниях от ребер. Расположим отрезки и выберем их длину так. чтобы, со­единяя концы отрезка одной грани с концом отрезка на другой грани, получить равносто­ронний треугольник. На рис. 29 на передней грани куба помещен отрезок АВ, на боко­вой грани - СD. Определим, при каком значении n будем иметь АВ=ВС =АС, если реб­ро куба имеет длину а. Примем одну из вершин куба за начало координат О. а оси Оxy,Oz направим по ребрам куба. Теперь нетрудно определить координаты точек А и С:А[а/2,0,а-n/2],С[а ,а-n/2,а/2]

Вычислим расстояние АС: АС22/4 + (а-n)2/4 + n2/4.

Потребовав, чтобы длина отрезка АС была равна n, получим уравнение: а2/4 + (а-n)2/4 + n2/4=n2, или n2+аn-а2=0

Мы получили так называемое уравнение золотого сечения. Построив но отрезку длины, а отрезок длины n= -а/2 + а2/4 + а2 и поместив такие отрезки на шести гранях куба, получим 12 вершин правильного икосаэдра. В этом легко убедиться, заметив, что все грани построенного многогранника - равные правильные треугольники, и в каждой вершине сходятся пять ребер.

Задача имеет два решения, так как ребро АВ икосаэдра можно располагать на грани куба вертикально или горизонтально.

Задача 5. Построить правильный додекаэдр.

Решение. Эту фигуру можно описать около данного куба. Заметим, что чис­ло ребер куба (12) равно числу граней додекаэдра. Поэтому поставим своей задачей провес­ти через ребра куба двенадцать плоскостей так, чтобы они своим пересечением определи­ли двенадцать правильных пятиугольников. При этом восемь вершин додекаэдра будут вершинами куба, а остальные двенадцать вершин додекаэдра расположатся попарно над каждой из шести граней куба. Таким образом, на каждой грани куба должна быть по­строена "четырехскатная крыша", две грани которой - треугольники и две - трапе­ции. (рис.30). Такие треугольник и трапецию получим, если построим правильный пяти­угольник АВСDЕ, у которого диагональ равна ребру куба. Стороны этого пятиугольника будут равны ребрам додекаэдра, а построенные с помощью диагонали треугольник АЕВ и трапеция ЕDСВ (см. рис.31) окажутся фрагментами "четырехскатной крыши".

Пусть ребро куба равно а. Чтобы определить ребро додекаэдра т, проведем диаго­наль BЕ пятиугольника, которая пересечет АС а точке М. Треугольники АВС и АВМ подобны, так как угол А - общий, углы АВМ,AEB и АСВ равны. Вместе с тем, АС\\DЕ и ВЕ\\СD, т. е. СDЕМ-- параллелограмм и СМ=ЕD=т. Из подобия получа­ем:

а: т =т:(а т), т. е. т2+ат- а2=0, или m=- а/2 + а2/4 + а2.

Таким образом, ребро додекаэдра найдено.

Чтобы построить искомую "крышу" на грани куба SРRQ (рис. 30). проведем на ней среднюю линию, соединяя середины ребер SР и RQ и помещая на ней отрезок К'L' на равных расстояниях от SР и RQ. Из точек К' и L', проведем перпендикуляры k и l к плоскости грани. От середины X ребра RQ отложим на прямой l точку L так. чтобы выполнялось равенство XL=ВN, где ВN - - высота треугольника АВС на рис. 31. Тогда получим, что треугольник RLQ рис- 30 равен треугольнику AВС на рис. 31, и таким же образом получим SКР=АВС. Аналогичное построение произведем на грани куба S'Р'R'Q’. Остальное построение получается довольно просто, если принять во внимание, что диагональ правильного пятиугольника параллельна противоположной стороне, например RQ \\ FG (рис. 30).

Учитывая, что правильный пятиугольник имеет, пять равных диагоналей, заключаем, что существует, пять различных (с точностью до расположения в пространстве) равных правильных додекаэдров, описанных около данного куба.



Задача 6.Построение усеченного тетраэдра, октаэдра, икосаэдра ,куба, додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный тетраэдр, октаэдр, икосаэдр ,куб, додекаэдр с помощью куба(смотреть задачи 1,2,4,5).А затем срежем углы тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, куба, додекаэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины(рис. 8,9,10,11,12).



Задача 7.Построение кубооктаэдра и икосододекаедра с помощью куба.

Построим правильный куб и додекаэдр с помощью куба.(смотреть задачу 5) Проведем в кубе и додекаэдре секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины(рис.13 и 14).



Задача 8.Построение усеченного кубооктаэдра и усеченного икосододекаедра с помощью куба.

Построение кубооктаэдра и икосододекаедра с помощью куба(смотреть задачу 7). А затем срежем углы куба и додекаэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины(рис 15 и 16).



Задача 9.Построение малого звёздчатого додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный додекаэдр с помощью куба(смотреть задачу 5).Затем продолжим его рёбра, которые приводят к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником(рис. 22).



Задача 10.Построение большого додекаэдра и большого звёздчатого додекаэдра с помощью куба.

Построим правильный додекаэдр с помощью куба(смотреть задачу 5). При продолжении граней додекаэдра возникает две возможно­сти. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники (рис. 23, а), тогда получается много­гранник, который называется большой додекаэдр (рис. 23, б). Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники (рис. 24, а), тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр (рис. 24).



Задача 11.Построение большого икосаэдра с помощью куба.

Построим правильный икосаэдра с помощью куба(смотреть задачу 4).А затем продолжим его грани( рис. 25)



Заключение

На основе изучения теоретического материала, анализе учебных пособий по геомет­рии и решения некоторых практических задач на построение многогранников с помощью куба, мы увидели достоинства этого метода.

Считаем целесообразным применением построения многогранников с помощью куба ,так как он вполне доступен.

Мы считаем, что этот приём дает возможность математически эстетично и достаточ­но точно решать сложные задачи на построение именно в курсе стереометрии.



Список использованной литературы

  1. Атанасян Л.С.. Бутузов В.Ф. Геометрия 10-11; М. ; «Просвещение». 2000.

  2. Интернет сайт www.уаndeх.ru

3 .Крайнева Л.Б. Построение правильных многогранников с использованием куба //Математика в школе.-1994.-2.-54-57

4. Смирнова И.М. Учебное пособие для10-11 классов гуманитарного профиля; «Просвещение»1997.

5. СмирноваИ.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах. Изучение многогранников//Математика в школе.-1934.- 4 .-41-47







рис 6 рис7


Рис 8



Рис 9




рис 10 рис 11 рис 12




рис 13 рис 14 рис 15


Рис 17

Рис 16
рис 18


рис 19 рис 20 рис 21



рис 22(а,б) рис 23(а,б)


Рис 24(а,б)


рис 25(а,б) рис 26


рис 27



рис 28


рис 29




рис 30


рис 31


скачать файл



Смотрите также:
Построение многогранников с помощью куба
184.1kb.
Упражнения на ориентировку в пространстве
41.86kb.
Основные понятия
302.4kb.
Спорные вопросы: Техас, Куба, Пуэрто-Рико
22.25kb.
Обзор инструментов, включающий в себя моделирование параллельности с помощью Intel® Advisor, верификацию программ с помощью Intel® Inspector и профиллировку программ с помощью Intel® vTune™ Amplifier
37.02kb.
Важно знать географическое положение
73.55kb.
Антикризисный самоучитель
10.78kb.
Приложения основных результатов 8 Приложения к инвариантам комплексных особенностей 8
153.18kb.
Родился в Ольденбурге, был профессором философии в Кенигсберге и Реттингене
26.26kb.
Построение и анализ функций спроса и потребления Задание 1
110.39kb.
Дистанционное обнаружение объектов по карте с помощью поискового прибора ига-1 Аварии воздушных судов
10.43kb.
Описание движения карандаша по наклонной плоскости
65.6kb.