vesnat.ru   страница 1 ... страница 8страница 9страница 10страница 11страница 12
скачать файл
M из §10.2, можно получить для конкретных r не только значения СИХ в ненормированных или нормированных базисах, но и их аналитические зависимости.

Пример 11.2. Определить СИХ и записать уравнения спектрального ЦДСФ 1-го порядка в нормированном базисе общего вида.

Решение. Используя матрицу в виде (11.35) при r=1 и матрицы и из примера 10.1, из выражения (11.33) после преобразований получаем:


Матрицы-столбцы и можно упростить, если учесть, что преобладающее большинство базисных систем содержит нулевую функцию с мощностью , а среднее значение остальных базисных функций равно 0. Поэтому для них , а все с равны 0. Тогда



и уравнения спектрального ЦДСФ 1-го порядка принимают следующий вид:





Уравнение для представлено как в прямой, так и в компенсационной формах записи.

_______________ . _______________

Пример 11.3. Определить СИХ и записать уравнения спектрального ЦДСФ 1-го порядка в ненормированном базисе.

Решение. Подставляя в общее уравнение (11.31) матрицы (11.34) и (11.35) при r=1, а также матрицы и из примера 10.1, после его решения получаем

и



При этом было использовано то же ограничение на базисную систему, что и в предыдущем примере, а именно: ненормированная система имеет и средние значения всех остальных ее функций равны нулю.

_______________ . _______________

Сравнение результатов приведенных примеров показывает, что решение в ненормированном базисе отличается от своего аналога в нормированном базисе только наличием в итоговых уравнениях мощностей базисных функций . При всех решения, естественно, совпадают.

Из приведенных примеров также следует, что вычислительная сложность ЦДСФ 1-го порядка, связанная с числом ненулевых значений его СИХ, зависит от числа ненулевых элементов матрицы G (11.35) Этот вывод будет справедлив и для ЦДСФ других порядков.

Матрица G будет содержать минимальное число ненулевых элементов, если базисные функции будут адекватными классу степенных функций. Такими базисными функциями являются ортогональные решетчатые полиномы (см. §4.6).

Для систем все составляющие с равны нулю, поэтому матрица G приобретает треугольный вид:

,

в результате чего число ненулевых отсчетов СИХ для заданного r будет минимальным.



Пример 11.4. Записать СИХ и уравнения спектрального ЦДСФ 1-го порядка в полиномиальном базисе.

Решение. В этом случае матрица



, при m>0 и

Поэтому векторы СИХ ЦДСФ, получаемые из уравнения (11.31) при матрице D вида (11.34) и матрицах и предыдущих примеров, равны




а алгоритм спектрального ЦДСФ запишется в виде следующих уравнений:





Спектральные импульсные характеристики и содержат в этом случае только по одному ненулевому отсчету.

_______________ . _______________

Результаты, полученные в примере 11.4, могут быть обобщены. Можно показать, что СИХ к-го канала ЦДСФ r-го порядка в полиномиальном базисе содержит только одно ненулевое значение и уравнение оценки параметра имеет простейший вид:



(11.36)

где


(11.37)

Следует отметить, что из уравнения (11.36) можно получить полезную формулу для ИХ ЦДСФ во временной области:



(11.38)

Если функции известны, а для величин по формуле (11.37) получены аналитические выражения, то соотношение (11.38) задает удобный способ получения общего математического описания ЦДСФ во временной области.



Пример 11.5. Записать уравнения ЦДСФ 1-го порядка в полиномиальном базисе Лежандра. Вычислить ИХ через СИХ .

Решение. В базисе Лежандра (см. §4.6) , , , , а , , . Поэтому



.

Импульсная характеристика



и совпадает с ИХ , полученной в примере 10.1 из решения общего матричного уравнения (10.15).

_______________ . _______________

Анализ спектра в полиномиальных базисах весьма трудоемок, что обусловлено достаточно сложной для вычислений аналитической записью самих функций этих систем, особенно функций с большими номерами, и отсутствием в них алгоритмов быстрых преобразований. В соответствии с этим, несмотря на минимальную размерность спектральных фильтров, реализация ЦДСФ в полиномиальных базисах остается достаточно сложной и соизмеримой с реализацией ЦДСФ во временной области. Однако запись ЦДСФ в полиномиальных базисах оказывается весьма полезной в теоретическом плане, т.к. из нее следует удобное общее описание ИХ ЦДСФ любого порядка во временной области.

С другой стороны, именно зависимость СИХ от спектра степенных функций делает целесообразным применение функций Уолша при синтезе оптимальных ЦДСФ, поскольку, во-первых, для класса степенных функций спектр Уолша имеет размерность, меньшую N (см. §4.7); во-вторых, данные функции принимают только значения +1 и -1 и для них существуют эффективные методы БПУ; в-третьих, для упорядочения Пэли спектр Уолша степенных функций имеет аналитическое описание в виде показательных функций с основанием 2. Все это приводит к тому, что СИХ в базисе Уолша содержат ряд нулевых составляющих, а ненулевые составляющие представляются в двоично-рациональном виде. Это в свою очередь позволяет исключить часть умножений, а оставшиеся умножения заменить на более короткие операции сдвига.

Пример 11.6. Записать уравнения ЦДСФ 0-го и 1-го порядков в базисе Уолша-Пэли.

Решение. Система Уолша-Пэли является ортонормированной системой и для нее , при m>0, а при m, отличном от 0 и (. Поэтому алгоритмы ЦДСФ в базисе Уолша-Пэли легко можно получить из результатов примера 11.2:

r=0



r=1



_______________ . _______________



Пример 11.7. Записать алгоритм ЦДСФ 2-го порядка в базисе Уолша-Пэли.

Решение. В этом случае матрицы , , , а , , и все с m, отличном от 0, и ) равны нулю (см. §4.7). Поэтому решение общего матричного уравнения (11.33) при матрице G в виде (11.35) с r=2 приводит к следующему результату:







.

Уравнения ЦДСФ приведены здесь как в прямой, так и в компенсационной формах записи.

________________ . _______________

Из алгоритмов ЦДСФ 0-го ÷ 2-го порядков, полученных в примерах 11.6 и 11.7, следует, что в терминах спектров Уолша-Пэли в ЦДСФ нулевого порядка не равно нулю только значение СИХ нулевого ранга , в ЦДСФ первого порядка не равны нулю значения СИХ нулевого и первого рангов, а в ЦДСФ второго порядка не равные нулю значения СИХ нулевого , первого и второго рангов. Все ненулевые значения с точностью до постоянного множителя представляются в виде двойки в определенной степени. Эти свойства проявляются и в ЦДСФ более высоких порядков. Можно показать (см. следующий параграф), что в общем случае в ЦДСФ r-го порядка не равны нулю только значения СИХ от нулевого до r-го рангов, т.е. максимальной ранг ненулевых значений СИХ в базисе Уолша-Пэли совпадает с порядком ЦДСФ, а все ненулевые значения СИХ можно представить в двоично-рациональном виде. Это является отличительной особенностью ЦДСФ в базисе Уолша-Пэли.

Базис Хаара имеет более эффективные алгоритмы анализа спектра по сравнению с базисом Уолша, но все в этом базисе не равны нулю и имеют двоично-рациональный вид только для (см. §4.8). Поэтому практическая целесообразность применения ЦДСФ в базисе Хаара не выходит за рамки ЦДСФ 1-го порядка.

Пример 11.8. Записать алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в базисе Хаара.

Решение. Алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в базисе Хаара можно получить различными способами. Рассмотрим два их них.

Первый способ основывается на использовании общего результата, полученного в примере 11.3 для произвольного ненормированного базиса. Подставляя в него значения спектров из §4.8 и мощностей , базисных функций Хаара, получим:





.

Во втором способе используются алгоритм ЦДСФ 1-го порядка в базисе Уолша-Пэли и уравнение (4.129) взаимосвязи спектров Уолша и Хаара. Действительно, если в алгоритме для примера 11.6 учесть, что



то

Результаты, полученные с помощью двух рассмотренных способов совпадают.

_______________ . _______________

Дисперсии случайных погрешностей оценки параметров сигнала с помощью спектральных ЦДСФ и соответствующие им коэффициенты сглаживания не зависят от базиса, поэтому для их вычисления могут быть использованы те же соотношения, что были получены в главе 10 для ЦДСФ во временной области. В случае необходимости их можно определить и непосредственно в спектральной области, причем дисперсии – по общей формуле (11.32), а коэффициенты сглаживания для некоррелированной помехи в виде математического белого шума – по формуле

получаемой из равенства Парсеваля для ИХ и СИХ, а также из формулы для дисперсии (11.21).



Пример 11.9. Определить коэффициенты сглаживания оценки первого параметра в ЦДСФ 1-го порядка в базисах Лежандра, Уолша и Хаара.

Решение. В базисе Лежандра (см. пример 11.5) СИХ имеет только одно ненулевое значение и , поэтому

В базисе Уолша-Пэли СИХ первого параметра содержит n ненулевых значений первого ранга (см. пример 11.6)



и все поэтому



В базисе Хаара (см. пример 11.8) не равны нулю все значения СИХ и





Поэтому для него



Все полученные результаты совпадают между собой и с результатом во временной области примера 10.1. Этот вывод будет справедлив и для ЦДСФ других порядков.

_______________ . _______________

11.5 Синтез оптимальных полиномиальных фильтров методом аппроксимации в спектральной области функционального пространства

Общий метод расчета ЦДСФ на основе матричных решений (11.31) и (11.33) при всей своей полезности достаточно трудоемок. С его помощью затруднительно получение общего аналитического выражения для СИХ ЦДСФ произвольных порядков. Для случая некоррелированного шума можно предложить другой метод аналитического синтеза ЦДСФ, приводящий к аналитическому описанию алгоритм фильтрации любых порядков. Метод основывается на сведении задачи аналитического синтеза ЦДСФ к задаче аппроксимации в спектральной области функционального пространства ортогонального базиса и представляет собой по сути метод наименьших квадратов, записанный в спектральной области.

При использовании этого метода параметры аппроксимирующей функции , имеющей вид (9.39), находятся в результате решения уравнения, представляющего собой математическую запись критерия минимума дисперсии погрешности оценки в спектральной области произвольного ортогонального базиса для некоррелированного входного шума:



(11.39)

При записи уравнения (11.39) использовано выражение (3.8) для метрики пространства . В этом уравнении величины являются спектром аппроксимирующей функции в произвольном ортогональном базисе с мощностью . Его можно выразить через искомые параметры :



(11.40)

где, как и ранее,



Тогда уравнение (11.39) можно привести к следующему виду



(11.41)

Решение уравнения (11.41) эквивалентно решению системы лгебраических уравнений с неизвестными



(11.42)

которая по структуре близка к аналогичной системе уравнений (10.22) во временной области, но носит более общий характер и справедлива для любого ортогонального базиса. В частном случае, при базисе в виде системы единичных функций, система уравнений (11.42) совпадет с системой уравнений (10.22).

Применяя способ Крамера, из системы (11.42) можно получить решение, по форме записи совпадающем с решением (10.23) во временной области, но с другим представлением главного и частных определителей. Выражая, как и в §10.2, частные определители через элементы столбца свободных членов, можно найти общее решение в спектральной области в прямой форме записи:

(11.43)

Это решение можно выразить и через СИХ, если принять



(11.44)

В выражениях (11.43) и (11.44) величины означают алгебраические дополнения m-го определителя по элементам -го столбца системы уравнений (11.42).

Если для решения системы уравнений (11.42) использовать способ Гаусса, то можно получить ее решение в компенсационной форме записи:

(11.45)

Компенсационные коэффициенты решения в спектральной области не зависят от базиса и должны совпадать с компенсационными коэффициентами в временной области. При использовании системы единичных функций решение (11.45) переходит в решение (10.27) во временной области. Коэффициенты сглаживания определяются так же, как и в предыдущих параграфах.

Решения (11.43) и (11.45) совпадают с решениями, полученными ранее в §11.4. Если спектры степенных функций конкретных базисных систем содержат нулевые значения, то систему уравнений (11.42) можно упростить, а следовательно, упростить и саму процедуру ее решения. Из приведенных ранее систем базисных функций таким свойством обладают спектры степенных функций в базисах Хаара, Уолша и в полиномиальных базисах.

Для систем Хаара , а все (см. §4.8), поэтому система уравнений (11.42) принимает следующий вид







Для малых значений r ее решение приводит к простым алгоритмам ЦДСФ, совпадающим с алгоритмами, полученными в предыдущем параграфе на основе общего матричного уравнения (11.31).



Пример 11.10. Записать алгоритм оптимального ЦДСФ 1-го порядка в базисе Хаара.

Решение. При r=1 система уравнений в базисе Хаара содержит всего два уравнения


и имеет решение





которое при использовании зависимостей спектров Хаара линейной функции (см. пример 4.27) приводится к следующему виду



,

Выведенный алгоритм ЦДСФ совпадает с алгоритмом, полученным в примере 11.8 матричным методом.

______________ . _______________

В базисе Уолша-Пэли в спектрах степенных функций все составляющие с номерами ранга выше показателя степени равны нулю (см. §4.7), поэтому система уравнений (11.42) может быть упрощена и приведена к следующему виду:





. . . . . . . .



.

Специфика данной системы такова, что последнее уравнение включает в себя только один неизвестный параметр , предпоследние – два параметра и и т.д. В соответствии с этим процесс вычисления параметров целесообразно проводить, начиная с параметра высшего порядка. В общем виде значение параметра на выходе ЦДСФ r-го порядка можно записать так



Его можно представить и в компенсационной форме записи



(11.46)

если принять



(11.47)

(11.48)

Как следует из формул (11.47) и (11.48) и СИХ, и компенсационные коэффициенты зависят только от значений спектра Уолша-Пэли степенных функций, причем в ЦДСФ r-го порядка используются спектры ранга не более r. Используя их общую запись в виде формулы (4.114), СИХ m-го параметра, например, можно представить как



(11.49)

Используя формулу (4.114), в развернутом виде можно записать и компенсационные коэффициенты. Результаты преобразований показывают, что значения компенсационных коэффициентов в базисе Уолша-Пэли совпадают с их значениями в базисах Хаара и единичных функций. Это подтверждает уже отмечавшийся факт независимости компенсационных коэффициентов от используемой системы базисных функций.



Пример 11.11. Синтезировать алгоритм ЦДСФ 1-го порядка методом аппроксимации в спектральной области функционального пространства с базисом Уолша-Пэли.

Решение. Для r=1 из уравнения (11.46) и формул (11.47)-(11.49) получаем





и



.

Результат этого примера совпадает с результатом примера 11.6.

_______________ . _______________

Для полиномиальных базисных систем все составляющие с равны нулю, поэтому система уравнений (11.42) приобретает вид



(11.50)

Ее решение позволяет получить уравнения оптимальных ЦДСФ любых порядков в различных полиномиальных базисах.



Пример 11.12. Записать алгоритм оптимального ЦДСФ 1-го порядка в базисе Лежандра.

Решение. При r=1 из (11.50) имеем



При этом учтено, что . Решая записанную систему из двух уравнений, получаем





,

а, используя значения спектров Лежандра и линейной функции (см. §4.6), приходим к следующему окончательному результату:



Он совпадает с результатом примера 11.5.

_______________ . _______________

Зависимость СИХ и алгоритмов ЦДСФ от свойств спектров степенных функций, которые в свою очередь зависят от используемых систем базисных функций, подсказывает еще один полезный подход к аналитическому синтезу ЦДСФ. Этот подход рассмотрим в следующем параграфе.

11.6 Аналитический синтез полиномиальных фильтров методом подбора базиса

Этот метод позволяет записать задачу цифровой фильтрации в терминах выбранной системы базисных функций, что в конечном счете и обуславливает одну из важных его особенностей – возможность на единой математической основе решать задачи синтеза оптимальных и квазиоптимальных фильтров [48].

Обратимся к общей постановке задачи синтеза ЦДСФ, считая, что входной сигнал представляется в виде (10.1). Его спектр по некоторой системе базисных функций записывается выражением (11.2) и в следствии свойств аддитивности помехи состоит из двух составляющих

(11.51)

Первая из них определяет спектр полезного сигнала , а вторая - спектр помехи :



.

Если система базисных функций выбрана таким образом, что часть спектральных коэффициентов полезного сигнала равна нулю, то данные коэффициенты в соответствии с выражением (11.51) будут содержать только помеховую составляющую и, следовательно, могут быть исключены без искажения полезного сигнала.

При восстановлении сигнала по оставшемуся спектру образуется сигнал , состоящий из той же полезной составляющей и оставшейся не отфильтрованной части помехи :

=+=. (11.52)

В выражении (11.52) суммирование проводится по номерам, принадлежащим области номеров неисключенных спектральных коэффициентов.

Сигнал по виду совпадает с полезной составляющей (9.37), однако имеет другие значения параметров , представляющих собой оценку искомых параметров :

=. (11.53)

Таким образом, при этом способе преобразования сигнал является отфильтрованным сигналом, с определенной степенью точности аппроксимирующим исследуемый входной сигнал . Его можно рассматривать в качестве аппроксимирующей функции . На рис. 11.4а приведена геометрическая интерпретация процесса аппроксимации полезного сигнала (кривая 1) с наложенным случайным шумом (кривая 2). Аппроксимирующая функция имеет вид кривой 3. На рис. 11.4б представлено изображение этого процесса в спектральной области базиса , причем неучитываемые (исключаемые) коэффициенты условно отмечены «крестиком».

Для определения параметров аппроксимирующего полинома (11.53) разложим сигнал (11.52) с учетом его записи в виде (11.53) по системе функций . Тогда

Из данного выражения, используя свойство ортогональности СБФ, нетрудно получить следующую систему алгебраических уравнений:



(11.54)

Из возможных структурных организация этой системы уравнений, зависящих от вида выбранного базиса, практическое значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и в которых число уравнений больше числа неизвестных.


В первом случае система (11.54) имеет единственное решение



(11.55)

по виду записи близкое к решению (11.43) и для некоррелированной помехи совпадающее с ним в смысле равенства нулю систематических и минимума дисперсии случайных погрешностей. Коэффициент сглаживания оценки m-го параметра при этом будет иметь следующий вид



(11.56)

и совпадет с его оптимальной записью (см. §11.4).

Во втором случае для решения системы (11.54) можно использовать различные методы, приводящие к различным видам фильтрующих алгоритмов. Если применить к ней известный метод нормальных уравнений Гаусса, то параметры можно найти из решения эквивалентной системы уравнений

так же приводящей к алгоритмам оптимальной оценки с коэффициентом сглаживания в виде (11.56). Можно изменить процедуру Гаусса и учитывать при формировании каждого эквивалентного уравнения не все уравнения системы (11.54), а только некоторую ее часть. Такая модификация метода Гаусса упрощает получаемые при этом алгоритмы фильтрации за счет уменьшения размерности спектрального фильтра, однако приводит к увеличению уровня случайных погрешностей по сравнению с их минимальной величиной в оптимальном фильтре. Если это увеличение допустимо, то с помощью модифицированного метода нормальных уравнений Гаусса на основе системы (11.54) можно решать задачу синтеза квазиоптимальных ЦДСФ. Выбор количества и вида используемых уравнений системы (11.54) можно осуществлять в этом случае из решения неравенства



(11.57)

где ‒ допустимое значение коэффициента сглаживания m-го параметра, связанное с допустимым уровнем дисперсии случайных погрешностей в оценке m-го параметра ЦДСФ r-го порядка.

скачать файл


<< предыдущая страница   следующая страница >>
Смотрите также:
8 Цифровые фильтры
1607.72kb.
Линейные фильтры. 2 Mean фильт
77kb.
Пальченков юд. Цифровые устройства и микропроцессоры: Конспект лекций. Пенза: Изд-во Пенз гос техн ун-та, 1994. 108 с.: 59 ил., 3 табл., библиогр. 25 назв
1207.64kb.
По дисциплине «Программирование технических средств и программируемые цифровые устройства в системах безопасности»
82.81kb.
Организаторы
75.41kb.
Географические информационные системы. Образовательные ресурсы сети Интернет
56.97kb.
Что наиболее значительное удалось сделать в 2011 году?
69.44kb.
Преобразование и методы модуляции сигналов
77.67kb.
Современные системы сбора и обработки данных, получаемых с объектов управления, используют различные методы нормализации входных сигналов для дальнейшей подачи их на аналого-цифровые преобразователи (ацп)
55.3kb.