vesnat.ru страница 1страница 2 ... страница 11страница 12
скачать файл
ГЛАВА 8
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

8.1. Цифровые фильтры


Цифровая фильтрация является еще одной важной операцией цифровой обработки сигналов, находящей самое широкое применение в различных областях науки и техники. Реализуется она с помощью цифровых фильтров (ЦФ), которые представляют собой системы, предназначенные для преобразования структуры входного сигнала к виду, определяемому характером его дальнейшего использования. ЦФ относятся к классу линейных дискретных систем, взаимосвязь между входным и выходным дискретными сигналами в которых определяется следующим разностным уравнением:

(8.1)

Здесь пределы суммирования и и величины и являются параметрами фильтра, причем коэффициенты и могут быть константами либо отсчетами решетчатых функций, зависящих от дискретного времени .

Сигналы и могут быть как вещественными, так и комплексными. Уравнение (8.1) можно рассматривать как алгоритм вычисления , т.е. алгоритм работы ЦФ. Его реализация в виде устройства приведет к аппаратному способу реализации ЦФ, а программирование на выбранном языке ‒ к программному способу реализации ЦФ.

Как правило, решение уравнения (8.1), т.е. решетчатую функцию , требуется определить при . Если известны коэффициенты и , отсчеты входного сигнала при и начальные значения то, используя (8.1), можно рассчитать отсчеты для любого . Уравнение (8.1) дает аналитическое описание ЦФ во временной области.

Если коэффициенты ak и bl не зависят от дискретного времени i, то ЦФ являются системами с постоянными параметрами, в противном случае они будут принадлежать классу систем с переменными параметрами.

Пример 8.1. Записать уравнение ЦФ с постоянными параметрами и рассчитать значения для при и при . Начальное значение .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :



и т.д. Входной и выходной сигналы являются вещественными.

_______________ . _______________

Пример 8.2. Записать уравнение комплексного ЦФ с постоянными параметрами и рассчитать значения выходного сигнала для условий предыдущего примера. Здесь (мнимая единица).

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :



и т.д. Входной сигнал ЦФ является вещественным, а выходной ‒ комплексным.

_______________ . _______________

Пример 8.3. Записать уравнение ЦФ с переменными коэффициентами при и для .

Решение. Уравнение фильтра:

Значения :



и т.д. Выходной сигнал веществен, поскольку веществен входной сигнал и



_______________ . _______________

Цифровые фильтры принято делить на два класса: рекурсивные (РЦФ) и нерекурсивные (НЦФ). Если в уравнении (8.1) хотя бы один коэффициент ak отличен от нуля, то фильтр называют рекурсивным. Если же в (8.1) все коэффициенты ak равны нулю, то фильтр, реализующий такой алгоритм, называют нерекурсивным. Для него разностное уравнение (8.1) упрощается:

(8.2)

Очевидно, что НЦФ представляет собой систему без обратной связи, а РЦФ ‒ систему с обратной связью.



8.2. Передаточные функции цифровых фильтров


В соответствии с общим определением передаточных функций систем автоматического управления [19, 45] передаточной функцией ЦФ называют отношение z-образов выходного и входного сигналов фильтра при нулевых начальных условиях:

(8.3)

Вычисляя z-преобразование выходного сигнала по разностным уравнениям (8.1) и (8.2):



из общей формулы (8.3) после простых преобразований можно получить более удобные для использования зависимости для передаточных функций рекурсивных и нерекурсивных ЦФ:



(8.4)

(8.5)

Передаточные функции (8.4) и (8.5) содержат все те же параметры фильтров, что и разностные уравнения (8.1) и (8.2), и поэтому дают полное описание ЦФ. Они определяют собой способ аналитического описания ЦФ в z-области.



Пример 8.4. Записать передаточную функцию рекурсивного ЦФ с разностным уравнением .

Решение. В соответствии с (8.4) передаточная функция этого РЦФ будет иметь следующий вид:

_______________ ._______________

Передаточные функции оказываются весьма полезными при рассмотрении различных форм реализации ЦФ и анализе их динамических свойств. Кроме того, из передаточных функций легко получить частотные характеристики ЦФ, широко используемые при анализе и синтезе фильтров.

8.3. Основные формы реализации передаточных функций цифровых фильтров


Существует весьма большое число различных форм реализации

рекурсивных и нерекурсивных ЦФ. Рассмотрим наиболее распространенные из них. При построении структурных схем, соответствующих этим формам реализации, будем использовать обозначения операций, несколько отличающихся от обозначений, применяемых в сигнальных графах, но широко используемых в теории управления. Операцию задержки (запоминания) отсчетов сигнала на шагов дискретизации обозначим квадратиком с записью в нем величины , операцию сложения нескольких слагаемых ‒ прямоугольником со знаком , а операцию умножения на константу ‒ квадратиком с крестиком внутри. Передачу данных будем отображать на схемах сплошными линиями со стрелками.

Для сравнительного анализа сложности реализации различных форм передаточных функций обычно используют следующие реализационные характеристики, похожие на реализуемые характеристики сверток и ДПФ:

‒ число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимой для хранения отсчетов входного сигнала и промежуточных результатов;

‒ число ячеек постоянной памяти, необходимой для хранения коэффициентов фильтра;

‒ число умножений, выполняемых при вычислении одного отсчета выходного сигнала;

‒ число алгебраических сложений двух слагаемых, которые должны быть выполнены в фильтре для получения одного отсчета выходного сигнала.

Эти же характеристики могут быть использованы и для оценки вычислительной сложности алгоритмов фильтрации (8.1) и (8.2).

Для рекурсивных фильтров можно выделить четыре основные формы реализации: прямую, каноническую, каскадную (последовательную) и параллельную.

Прямая форма (рис. 8.1) соответствует непосредственной реализации

разностного уравнения (8.1) или передаточной функции (8.4). Для нее





Каноническая форма (рис. 8.2 для случая ) соответствует замене (8.1) эквивалентной системой разностных уравнений:



Рис. 8.1. Прямая форма


Введение вспомогательной последовательности позволяет объединить часть элементов задержки и уменьшить их число по сравнению с прямой формой реализации. Остальные реализационные характеристики при этом остаются без изменения.

Рис. 8.2. Каноническая форма


При последовательной форме (рис. 8.3) используется способ представления в виде произведения типовых звеньев не выше второго порядка (биквадратных звеньев [45]):

Биквадратное звено становится универсальным блоком для построения РЦФ любого порядка (порядком РЦФ называют максимальное значение степени знаменателя передаточной функции фильтра). Реализационные характеристики этой формы во многом зависят от числа используемых биквадратных звеньев.


Рис. 8.3. Последовательная форма


Параллельная форма (рис. 8.4) основана на эквивалентном представлении суммой типовых звеньев:

которые могут быть реализованы в виде биквадратного блока при . Реализационные характеристики здесь также сильно зависят от числа типовых блоков.

Все рассмотренные формы реализации РЦФ при одних и тех же входных данных и бесконечной разрядности представления чисел в ЦФ дают абсолютно одинаковые результаты, так как получены путем эквивалентных математических преобразований одного и того же исходного уравнения (8.4). Однако при ограниченной разрядной сетке представления чисел, что всегда имеет место в реальных ЦФ, эти формы приведут к различному результату, так как отличаются механизмом преобразования погрешностей округления. Каскадная форма, как правило, обеспечивает наименьший уровень собственных шумов фильтра [18].

Рис. 8.4. Параллельная форма


Для нерекурсивных ЦФ возможны прямая и каскадная формы реализации. Прямая форма (рис. 8.5) соответствует непосредственной реализации НЦФ согласно (8.2) или (8.5). Для нее

Рис. 8.5. Прямая форма


Каскадную форму легко получить из каскадной формы РЦФ, если в биквадратных звеньях положить все и равными нулю. Для весьма важного типа нерекурсивных фильтров с линейной фазочастотной характеристикой (см. §9.1) возможны специальные формы реализации, учитывающие свойства симметрии или антисимметрии коэффициентов фильтра . На рис. 8.6 приведена структурная схема фильтра, соответствующая разностному уравнению (8.2) при и четном . В таких формах реализации число умножений уменьшается практически вдвое. В два раза сокращается и число хранимых в памяти фильтра констант.

Рис. 8.6. Специальная форма



скачать файл


следующая страница >>
Смотрите также:
8 Цифровые фильтры
1607.72kb.
Линейные фильтры. 2 Mean фильт
77kb.
Пальченков юд. Цифровые устройства и микропроцессоры: Конспект лекций. Пенза: Изд-во Пенз гос техн ун-та, 1994. 108 с.: 59 ил., 3 табл., библиогр. 25 назв
1207.64kb.
По дисциплине «Программирование технических средств и программируемые цифровые устройства в системах безопасности»
82.81kb.
Организаторы
75.41kb.
Географические информационные системы. Образовательные ресурсы сети Интернет
56.97kb.
Что наиболее значительное удалось сделать в 2011 году?
69.44kb.
Преобразование и методы модуляции сигналов
77.67kb.
Современные системы сбора и обработки данных, получаемых с объектов управления, используют различные методы нормализации входных сигналов для дальнейшей подачи их на аналого-цифровые преобразователи (ацп)
55.3kb.