vesnat.ru страница 1
скачать файл
2. Необходимые и достаточные условия появления ошибок контроля.

Возможность появления ошибок 1-го и 2-го рода в процессе контрольной операции определяется выполнением необходимого и достаточного условий их возникновения.

Возникновение ошибок 1-го рода.

Необходимое условие появления ошибки 1-го рода состоит в том, что пересечение подмножеств случайных отклонений контролируемой величины (Х) и случайных погрешностей измерения (Y) должно быть ненулевым подмножеством (N), т.е. ХY=N0 (событие А1).

Достаточное условие появления ошибки 1-го рода можно выразить в виде неравенства, т.е. xiT/2 (событие Д1), где xi – зафиксированное при измерении значение контролируемой величины.

Возникновение ошибок 2-го рода.

Необходимое условие появления ошибки 2-го рода можно также выразить выразить в виде неравенства: ХY=М0 (событие А2).

Достаточное условие появления ошибки второго рода: xi>T/2 (событие Д2).

Ошибка контроля возникает только в случае одновременного выполнения необходимого и достаточного условий. Каждое из этих условий характеризуется вероятностью появления, а вероятность появления двух условий одновременно определяет вероятность ошибок контроля. Следовательно, вероятность n и m определяется вероятностью появления двух совместных событий : а)для ошибки 1-го рода



  1. ХY=N0 (A1),

2) Xi1);

б) для ошибки 2-го рода



  1. ХY=М0 (А2),

  2. Xi2).

Для определения вероятности появления ошибок контроля воспользуемся формулой умножения вероятностей событий:

Р(Аi Дi)=Р(Аi)*Р(Дi|Ai) i=1,2,

где Р(Аi Дi) – вероятность совместного появления Аi и Дi,

P(Ai) – вероятность появления события Аi,

P(Дi|Ai) – условная вероятность события Дi.

При i=1 эта формула определяет вероятность ошибки 1-го рода (n), при i=2 эта формула определяет вероятность ошибки 2-го рода (m).



3. Физическая модель предельного значения контролируемой величины.

При контроле сравнением с физическими моделями ошибки обуслов-


ны погрешностями реализации моделей, которые включают в себя конструктивное и технологическое несоответствие физических моделей объектам контроля, содержащим контролируемую величину, и погрешностями сравнения.

    1. Вероятность ошибок первого рода.

Вероятность появления отклонения контролируемой величины xi в интервале xi,xi+x, определяется выражением:

p(xi)=(xi)x (в случае дискретной величины) или

p(xi)=(xi)dx (в случае непрерывной величины).

Вероятность появления случайной погрешности измерения yj (погрешности воспроизведения и сравнения) определяется выражением:

р(yj)=(yj)y (в случае дискретной величины) или

p(yj)=(yj)dy (в случае непрерывной величины).

Вероятность того, что xi в x будет признано «браком», определяется выражением:

z

n1=(xi)x(y)dy



-H/2

Полная вероятность признания годных деталей «браком» будет равна интегралу этого произведения:



T/2 z

n=(x)(y)dydx (2)



T/2-H/2 -H/2

Графическое представление вывода формулы (2) дано на рис.1.


(х)

Т/2


х

xi



(у)
z

у

yj





Н Рис.1

Формула (2) применима для вычисления вероятности ошибки 1-го рода для непрерывных х, у, (х), (у). Для практических расчётов вычисление n по этой формуле является громоздким. В литературе для вычисления предлагают воспользоваться таблицами функции Лапласа, но такой способ расчёта требует наличия дополнительного материала, что неудобно. Поэтому предлагается использовать вместо непрерывных функций (х) и (у) дискретные, с достаточно малым шагом дискретизации. Следовательно, в формуле (2) операцию интегрирования можно заменить операцией суммирования по всем шагам дискретизации, тогда формула (2) примет вид:



k i

nH2/r2(xi)(yj) , (3)



i=0 j=0

где хi=T/2-z-H/2+iH/r

yj=-H/2+ jH/r

k=r(H+2z)/2H (округляется до целого).




    1. Вероятность ошибок второго рода.

Для вычисления вероятности ошибки 2-го рода проводятся рассуждения, аналогичные п. 2.1., в результате, получаем формулу:

k k

mH2/r2(xi)(yj) , (4)



i=0 j=i

где хi=T/2+ iH/r,

yj= jH/r,

k=r(H-2z)/2H (округляется до целого).

Примечание: формулы (3) и (4) не зависят от модели законов распределения контролируемой величины и погрешности измерения.


  1. Математическая модель измерения.

При контроле сравнением с математическими моделями ошибки обу-


словлены только погрешностью измерения. При использовании математической модели, мы располагаем значениями Хmax, Xmin, , взятыми из технической документации. В целом, методика вычисления ошибок контроля при использовании математической модели измерения, аналогична методике расчёта для физической модели предельного значения контролируемой величины.

4.1. Вероятность ошибок первого рода.

Вероятность появления отклонения контролируемой величины xi в интервале xi,xi+x, определяется выражением: p(xi)=(xi)x (в случае дискретной величины) или p(xi)=(xi)dx (в случае непрерывной величины).

Вероятность появления случайной погрешности измерения yj (погрешности воспроизведения и сравнения) определяется выражением: p(yj)=(yj)y (в случае дискретной величины) или p(yj)=(yj)dy (в случае непрерывной величины).

Вероятность того, что xi в x будет признано «браком», определяется выражением:

0

n1=(xi)x(y)dy



-

Полная вероятность признания годных деталей «браком» будет равна интегралу этого произведения:



T/2 0

n=(x)(y)dydx. (5)



T/2- -

Графическое представление вывода формулы (5) дано на рис.2.


(x)

T/2





xi

x

yj y

 


Рис.2
Так же как и в п.3 формула (5) применима для вычисления вероятности ошибки 1-го рода для непрерывных х, у, (x) и (y). Для вычисления вероятности без использования справочного материала с табличными данными, будем также использовать вместо непрерывных дискретные функции (x) и (y) с малым шагом дискретизации, тогда для расчёта можно использовать формулу:

r/2 i

n42/r2(xi)(yj) , (6)



i=0 j=0

где xi=(T-2)/2+i(2/r),

yj=j(2/r).



    1. Вероятность ошибки второго рода.

Для вычисления вероятности ошибки 2-го рода проводятся рассуждения, аналогичные п. 2.1., в результате, получаем формулу:

r/2 r/2

m42/r2(xi)(yj) , (7)



i=0 j=I

где xi=T/2+ i(2/r), yj=j(2/r).



5. Расчёт n и m в случае нормального закона распределения отклонений контролируемой величины и погрешности измерения.

Функции распределения для нормального закона имеют вид:

(x)=1/(2x) exp(-x2/2x2),

(y)= 1/(2y) exp(-y2/2y2).

Подставляя эти выражения в формулы (3), (4) и (5),(6), получим формулы для расчёта вероятностей ошибок контроля для нормального закона распределения отклонений контролируемой величины и погрешности измерения:

а)для физической модели предельного значения контролируемой величины:



k i

nH2/(r2xy) exp(-xi2/2x2)exp(-yj2/2y2)/2,



i=0 j=0

k k

mH2/(r2xy) exp(-xi2/2x2)exp(-yj2/2y2)/2,

i=0 j=i
б)для математической модели:

r/2 r/2

n42/(r2xy) exp(-xi2/2x2)exp(-yj2/2y2)/2,



i=0 j=i

r/2 r/2

m42/(r2xy) exp(-xi2/2x2)exp(-yj2/2y2)/2.



i=0 j=i
Замечание: установленная зависимость для вычисления n и m справедлива для определённых соотношений между контролируемым допуском Т и технологическим рассеянием х (для Т/х=16).


Методика расчёта вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода в среде Mathcad 2000.

Приведённые выше зависимости являются приближёнными, причём степень их приближения, как следует из их вывода, существенно зависит от числа разбиений r для небольших значений r ( по крайней мере меньше 10). Поэтому для обеспечения малых  очевидна необходимость программного обеспечения вычислений. Полученные зависимости позволяют создавать компактное программное обеспечение. В то же время это же достоинство выражений для m и n позволяет воспользоваться готовыми пакетами программ и, в частности, использовать для этих целей среду Mathcad.

Специфика использования среды Mathcad заключается в том, что сначала необходимо задавать начальные условия.

В этой среде вычисления производятся по заданным формулам, которые имеют тот же вид, что и на бумаге, кроме некоторых символов, например, := - знак присвоения переменной численной величины. Знаки арифметических и логических операций, знаки сравнения, сумм, интегрирования и дифференцирования можно найти в меню Math (Математика). Панель Math (Математика) появляется при загрузке Mathcad. Если она отсутствует, то это значит, что в подменю Toolbars (Панель инструментов) меню View (Вид) отключена опция Math (Математика) и её следует включить.

Для вычисления вероятностей ошибок следует придерживаться следующего плана:

1. Перепишите содержимое дискеты с нужным файлом на какой-либо жёсткий диск, например, на диск С :\ в директорию С:\ Мои документы.

2. Войдите в среду Mathcad.

3. В меню File выбираем пункт Open и в появившемся окне находим директорию С:\ Мои документы и файл, с которым будем работать (mn1.mcd – для математической модели, mn2.mcd – для физической модели). Эти файлы содержат все необходимые вычисления.

4. Дальнейшая работа состоит в определении исходных данных:

сначала нужно определить число разбиений r ( рекомендуется принимать равным от 450 до 650), примем r:=500.

5.Задаём общие исходные данные Т, х, у, . Для предпроектных расчётов можно принять х=Т/6 , =0.3*Т, у=/3 (для линейных измерений  можно выбрать по ГОСТ 8.051-81).

Пусть, например, Т=30 мкм, тогда заданные параметры будут выглядеть следующим образом:



Далее производится расчёт шага дискретизации  без участия пользователя. Это вычисление выполняется автоматически при переходе к следующей за формулой строке (при этом рассчитываемая в данный момент формула заключается в зелёную рамку), если Mathcad находится в режиме автовычислений. Для того, чтобы включить этот режим, нужно зайти в меню Math и установить флажок около Automatic Calculation или убедиться, что он там стоит по умолчанию:



Далее заданы формулы для расчёта х0 и у0:

Для ошибок 1-го рода

Для ошибок 2-го рода



Далее представлены дискретизированные аргументы функций распределения как функции номера шага:



Строкой ниже заданы законы распределения. В соответствующих полях записаны требуемые законы распределения, аргументом которых являются i или j. Эта запись выглядит следующим образом:



Законы записаны отдельно для ошибок 1-го и 2-го рода.

В данной методике используется расчёт с использованием сумм, которые заменяют соответствующие интегралы. Для вычисления этих задаются пределы суммирования. Для 1-ой суммы:

Для 2-ой суммы пределы заданы отдельно для ошибок 1-го и 2-го рода. Для ошибок n :



Для ошибок m:



Ниже записаны формулы для вычисления вероятностей ошибок:



В следующих строках можно считать результат:



Для того, чтобы получить значения для обеих границ поля допуска, в процентах, в следующей строке заданы формулы для вычисления, после этого также можно считать результат:



Примечание: при подсчёте m1 вычитается 0.27% – это вероятность появления отклонений за пределами допуска Т, если Т=6*x и средины рассеивания по Т совпадают.

При расчёте для физической модели предельных значений контролируемой величины необходимо загрузить следующий файл под названием mn2.mcd.

Методически этот расчёт ничем не отличается от предыдущего. Отличаются только задаваемые исходные данные. Помимо тех данных, которые уже заданы для предыдущей модели, необходимо определить z и H. Так, например:



Формула для расчёта шага дискретизации:



Строкой ниже заданы формулы для расчёта х0 и у0.

Для ошибки 1-го рода:

Для ошибки 2-го рода:



Далее, как и в первом случае, заданы дискретизированные аргументы функций распределения как функции номера шага:



Функции распределения остались теми же:



Далее задаются пределы суммирования, для этого предварительно определяется значение v, которое округляется до целого:



Ниже определены непосредственно пределы суммирования отдельно для ошибок 1-го и 2-го рода:



В следующих строках записаны формулы для вычисления n и m, после которых можно считать результат:






Для получения результата в процентах для обеих границ поля допуска, записаны формулы, после которых можно считать результат:



Таким образом, мы получили значения ошибок 1-го и 2-го рода в среде Mathcad.





скачать файл



Смотрите также:
2. Необходимые и достаточные условия появления ошибок контроля
105.7kb.
1. Определите словесно с помощью корты местоположение Китая
117.36kb.
Условия, необходимые для работы Интернет-магазина 2 Мастер настройки Интернет-магазина 2
228.35kb.
Правила контроля
86.13kb.
Доклад об осуществлении муниципального контроля и об эффективности такого контроля
441.81kb.
Доклад об осуществлении муниципального земельного контроля и об эффективности муниципального земельного контроля
107.83kb.
Методические материалы для текущего, промежуточного и итогового контроля по дисциплине «Ценные бумаги и фондовый рынок»
48.58kb.
Проведение радиационного контроля в рентгеновских кабинетах Методические указания му 6 1982-05
303.42kb.
История появления заменителей сахара
643.73kb.
Причины появления лирики и ее родовые особенности
132.15kb.
Конспект урока сбо "Железнодорожный пассажирский транспорт" Сенникова Екатерина Николаевна
147kb.
Лекция №3 Условия равновесия однокомпонентных флюидов
57.38kb.